Quarenta estudantes participaram de uma olimp´ıada de matem´atica. A
prova consistia de cinco problemas ao todo. Sabe-se que cada problema foi resolvido corretamente
por pelo menos 23 participantes. Prove que deve existir dois participantes tais
que todo problema foi resolvido por pelo menos um deles dois.
Olimpíadas ⇒ POTI Combinatória
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renatinho14
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Fev 2024
20
12:53
Re: POTI Combinatória
Há estudantes com 3 ou mais problemas resolvidos
Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há [tex3]40\cdot 2=80[/tex3] ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada.
Como cada problemas foi resolvido por pelo menos [tex3]23[/tex3] participantes, então há [tex3]23\cdot 5=105[/tex3] ou mais soluções corretas na prova, o que contradiz nossa hipótese.
Escolhendo [tex3]2[/tex3] estudantes que satisfaçam o enunciado
Suponha que exista um estudante [tex3]A[/tex3] que fez [tex3]3[/tex3] problemas. Um dos problemas que ele não fez foram solucionados ao menos [tex3]23+23=46[/tex3] vezes. Como há apenas [tex3]40[/tex3] alunos, existe um estudante [tex3]B[/tex3] que fez ambos.
Então cada problema foi resolvido por [tex3]A[/tex3] ou [tex3]B[/tex3] .
Os casos em que existe um estudante fez [tex3]4[/tex3] ou [tex3]5[/tex3] problemas são triviais.
Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há [tex3]40\cdot 2=80[/tex3] ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada.
Como cada problemas foi resolvido por pelo menos [tex3]23[/tex3] participantes, então há [tex3]23\cdot 5=105[/tex3] ou mais soluções corretas na prova, o que contradiz nossa hipótese.
Escolhendo [tex3]2[/tex3] estudantes que satisfaçam o enunciado
Suponha que exista um estudante [tex3]A[/tex3] que fez [tex3]3[/tex3] problemas. Um dos problemas que ele não fez foram solucionados ao menos [tex3]23+23=46[/tex3] vezes. Como há apenas [tex3]40[/tex3] alunos, existe um estudante [tex3]B[/tex3] que fez ambos.
Então cada problema foi resolvido por [tex3]A[/tex3] ou [tex3]B[/tex3] .
Os casos em que existe um estudante fez [tex3]4[/tex3] ou [tex3]5[/tex3] problemas são triviais.
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