Concursos Públicos ⇒ (FGV/AL-RO/2018) -GA-Circunferencia Tópico resolvido

[Pdalindão]

(FGV/AL-RO/2018) O segmento de reta com extremidades no ponto 𝑷(𝟓, 𝟎) e no centro da
circunferência (𝒙 − 𝟏)² + (𝒚 − 𝟑)² = 𝟒 intersecta a circunferência no ponto Q. A distância de P até Q
mede
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5

Resposta

---

letra c

A minha ideia é encontrar a equação da reta que passa por P e o centro da circunferência, e com ela encontrar o ponto de intersecção Q(x,y) através do sistema de equações entre a equação da reta e da circunferência. Com isso calcular a distancia de Q até P usando a formula da distancia entre dois pontos.

Porém dessa forma não dá a resposta certa de jeito nenhum! (caso eu não esteja errando contas)
Vi soluções alternativas com outras ideias e as entendi, mas gostaria de fazer usando essa ideia que eu tive, caso esteja correta (porque foi a primeira solução que pensei).

Se meu raciocínio não estiver errado, por favor me mostre os cálculos para eu ver onde errei. Se meu raciocínio estiver errado, me mostre em que lugar, por favor. Desde já, obrigado.

[petras]

Pdalindão,

Equação da reta:y = mx+b

[tex3]r: m_r = \frac{0-3}{5-1}=-\frac{3}{4}\\
(5,0)\in r: 0 = -\frac{3.5}{4}+ b \implies b = \frac{15}{4}\\
\therefore y = -\frac{3x}{4}+\frac{15}{4}\\
(x-1)^2+(y-3)^2=4 \implies (x-1)^2+(\frac{-3x+15}{4}-3)^2=4\implies x^2-2x+1+(\frac{-3x+3}{4})^2=4\\
x^2-2x+(\frac{9x^2-18x+9}{16})=3 \implies 16x^2-32x+9x^2-18x+9=48 \\
\therefore 25x^2-50x-39=0 \implies \Delta = 80\\
\therefore x = \frac{13}{5} \implies y = -\frac{3.13}{5.4}+\frac{15}{4}=\frac{36}{20} = \frac{9}{5}\\
d_{PQ} = \sqrt{(5-\frac{13}{5})^2+(0-\frac{9}{5})^2} =\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}=\sqrt\frac{225}{25}=\sqrt9\\
\therefore\boxed{ d_{PQ}=3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r: m_r = \frac{0-3}{5-1}=-\frac{3}{4}\\
(5,0)\in r: 0 = -\frac{3.5}{4}+ b \implies b = \frac{15}{4}\\
\therefore y = -\frac{3x}{4}+\frac{15}{4}\\
(x-1)^2+(y-3)^2=4 \implies (x-1)^2+(\frac{-3x+15}{4}-3)^2=4\implies x^2-2x+1+(\frac{-3x+3}{4})^2=4\\
x^2-2x+(\frac{9x^2-18x+9}{16})=3 \implies 16x^2-32x+9x^2-18x+9=48 \\
\therefore 25x^2-50x-39=0 \implies \Delta = 80\\
\therefore x = \frac{13}{5} \implies y = -\frac{3.13}{5.4}+\frac{15}{4}=\frac{36}{20} = \frac{9}{5}\\
d_{PQ} = \sqrt{(5-\frac{13}{5})^2+(0-\frac{9}{5})^2} =\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}=\sqrt\frac{225}{25}=\sqrt9\\
\therefore\boxed{ d_{PQ}=3}[/tex3]

[Pdalindão]

Pdalindão,

Equação da reta:y = mx+b

Equação da reta:y = mx+b

[tex3]r: m_r = \frac{0-3}{5-1}=-\frac{3}{4}\\
(5,0)\in r: 0 = -\frac{3.5}{4}+ b \implies b = \frac{15}{4}\\
\therefore y = -\frac{3x}{4}+\frac{15}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r: m_r = \frac{0-3}{5-1}=-\frac{3}{4}\\
(5,0)\in r: 0 = -\frac{3.5}{4}+ b \implies b = \frac{15}{4}\\
\therefore y = -\frac{3x}{4}+\frac{15}{4}[/tex3]

.....................................................
Era isso que eu queria fazer primeiramente. Mas eu tentei de duas outras formas: A primeira montando a equação da reta que passa pelo ponto (5,0) e (3,1); mas a equação que encontro é diferente da sua e consequentemente dá erro quando substituo na equação da circunferência. Também tentei fazer pela forma que vc fez, (y-y1)=m(x-x1), porém passando usando os pontos (3,1), que novamente gera uma equação diferente e dá problema depois. Nesse caso, porque os pontos que eu usei estão errados? Se eles fazem parte dessa reta (eu imagino que façam, se eu não estiver errado)

[petras]

Pdalindão,

Sempre poste sua solução para que quem estiver resolvendo possa verificar onde o erro pode estar.
A reta passa pelos pontos (5,0) e (3,1)... foram os pontos que utilizei
Se sua equação ficou diferente da minha você está errando na equação da reta.

[Pdalindão]

Pdalindão,

Sempre poste sua solução para que quem estiver resolvendo possa verificar onde o erro pode estar.
A reta passa pelos pontos (5,0) e (3,1)... foram os pontos que utilizei
Se sua equação ficou diferente da minha você está errando na equação da reta.

Opa. Peço desculpas, faz sentido eu colocar a minha resolução.
O que eu fiz foi o seguinte.
Os pontos são (5,0) e (3,1); substituindo eles na equação da reta y=ax+b, temos:
[tex3]\begin{cases}
0=5a+b \\
1=3a+b
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
0=5a+b \\
1=3a+b
\end{cases}[/tex3]

subtraindo as duas equações temos:
[tex3] 0-1=5a-3a [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] 0-1=5a-3a [/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3] 2a=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] 2a=-1[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3] a= - \frac{1}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] a= - \frac{1}{2} [/tex3]

Substituindo na primeira equação temos [tex3] 0=5 \left(\frac{-1}{2}\right) +b\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] 0=5 \left(\frac{-1}{2}\right) +b\rightarrow [/tex3]

[tex3] \frac{-5}{2} +b =0 \rightarrow b=\frac{5}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \frac{-5}{2} +b =0 \rightarrow b=\frac{5}{2}[/tex3]

A equação da reta seria então: [tex3] y=-\frac{3x}{2} + \frac{5}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] y=-\frac{3x}{2} + \frac{5}{2}[/tex3]

No caso é uma equação diferente da que você encontrou. Pensei que pudesse ser uma equação equivalente, mas não é o caso.

[petras]

Pdalindão,

O ponto é (1,3) e não(3,1)

[Pdalindão]

Pdalindão,

O ponto é (1,3) e não(3,1)

Não acredito kkkk (é rir pra não chorar), três dias lutando pra entender, e eu errando de sonso.
Obrigado pela paciência, meu amigo. Abraços