ITA 1956 ⇒ (ITA 1956) Q3.1 Geometria Plana II Tópico resolvido

[Jigsaw]

PARTE - III

3.1 – Sobre os lados de um triângulo, marcam-se, respectivamente, 3, 4 e 5 pontos distintos, não coincidentes com os vértices. Quantos segmentos de reta podemos obter, unindo, 2 a 2, os centros de todas as circunferências que passam por 3 quaisquer dos pontos marcados?

Resposta

---

S/ GAB

OBS = Há um problema referente a essa questão: na prova original, disponível nos arquivos do ITA, a qual obtive acesso, o enunciado é constituído de 7 linhas, entretanto as duas últimas linhas estão ILEGÍVEIS, talvez devido a ação do tempo, pois trata-se de um material de 67 anos, sendo que a parte do enunciado indicada acima refere-se as 5 primeiras linhas. Fiz uma pesquisa na rede e encontrei algumas referências a essa questão (itens [1] e [2]), em todos eles o enunciado está INCOMPLETO, desta forma podemos adotar a questão como INCOMPLETA ou ADAPTADA, confesso que não sei até que ponto isso poderia interferir na sua resolução, de qualquer forma, a parte ILEGÍVEL poderia ser um segundo item da questão, não interferindo na resolução do primeiro item.

[1] https://pir2.forumeiros.com/t18642-ita- ... mbinatoria
[2] https:----//conteudo.explicae.com.br/duvida/16883 (RETIRAR ----)

[petras]

Jigsaw,

Por qualquer trinca de pontos que não sejam colineares poderemos traçar um círculo.

Começaremos por um ponto em cada lado:

C1 = 3*4*5 = 60

Agora 2 pontos — um par — em um mesmo lado e 1 ponto em qualquer outro:

C2 = comb(3; 2)*9 + comb(4; 2)*8 + comb(5; 2)* 7

C2 = 3*2*9/2 + 4*3*8/2 + 5*4*7/2 = 27 + 48 + 70 = 145

C1 + C2 = 60 + 145 = 205 centros de círculos.

Agora basta achar as combinações deles 2 a 2:

comb(205; 2)= 205*204/2 = 20 910
(Solução:Rihan)