Ensino Médio ⇒ Dúvida resolução algebre de funções. Tópico resolvido

[Picolino]

Olá pessoal, tudo certo?

Estava estudando funções e resolvi pegar alguns exercícios mais difíceis para resolver. Este daqui se trata de algebra de funções.
o que acontece é que eu apredi a resolver em um video aleátorio que o youtube me recomendou, mas não consigo acha-lo de jeito nenhum. E a unica folha do livro que diz a esse respeito eu fui incapaz de compreender.
Fui capaz de resolver alguns exercícios sobre o tema - iclusive este - mas não sei se meu método é "matematicamente correto" ou se vai funcionar sempre. Questão ->

Sejam f, g : R --> R funções tais que: g(x) = 1 -x e f(x) + 2f(2-x) = (x-1)^3 para todo x pertencente aos reais. Então f composta com g =

Resposta:

Resposta

---

X³

Quando eu vejo um exercício assim, a primeira coisa que eu faço é achar outro valor de x e substituir. Nesse caso substituí x (em f no caso) por (2 - x).
Mas todas as resoluções que eu vi na internet substituiam-o por (1-x) - que é g(x). A dúvida é a seguinte: Existe alguma regra na hora de subsatituir o x ou posso colocar qualquer valor ali que vai dar certo?

[goncalves3718]

A questão pede [tex3]f[g(x)] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[g(x)] [/tex3]

.

Da relação:

[tex3]f(x)+2f(2-x) = (x-1)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)+2f(2-x) = (x-1)^3[/tex3]

segue:

[tex3]f[g(x)] + 2f[2-g(x)] = [g(x)-1]^3
\\ f(1-x) + 2f(1+x) = (-x)^3 (*)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[g(x)] + 2f[2-g(x)] = [g(x)-1]^3
\\ f(1-x) + 2f(1+x) = (-x)^3 (*)
[/tex3]

Note que:

[tex3]f(1+x)+2f[2-(1+x)] = [(1+x)-1]^3 \\
f(1+x) + 2f(1-x) = x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1+x)+2f[2-(1+x)] = [(1+x)-1]^3 \\
f(1+x) + 2f(1-x) = x^3[/tex3]

Isolando:

[tex3]f(1+x) = x^3 - 2f(1-x) (**)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1+x) = x^3 - 2f(1-x) (**)[/tex3]

Substituindo [tex3](**) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](**) [/tex3]

em [tex3](*)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](*)[/tex3]

:

[tex3]f(1-x) + 2[x^3-2f(1-x)] = (-x)^3 \\
f(1-x) + 2x^3 - 4f(1-x) = -x^3 \\
-3f(1-x) = -3x^3 \implies \boxed{f(1-x) = x^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1-x) + 2[x^3-2f(1-x)] = (-x)^3 \\
f(1-x) + 2x^3 - 4f(1-x) = -x^3 \\
-3f(1-x) = -3x^3 \implies \boxed{f(1-x) = x^3}[/tex3]

Como [tex3]f[g(x)] = f(1-x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[g(x)] = f(1-x)[/tex3]

, segue que [tex3]f([g(x)] = x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f([g(x)] = x^3[/tex3]