Ensino Médio

Mensagem não lidapor **edu_landim** » 31 Ago 2007, 23:16 · Mensagem não lida por **edu_landim** » 31 Ago 2007, 23:16

Na figura abaixo temos o quadrado [tex3]ABDC[/tex3] de lado [tex3]a[/tex3] , a semi-circunferência de diâmetro [tex3]\overline{AB}[/tex3] e um quarto de circunferência com centro em [tex3]C[/tex3] . Calcule a área hachurada em função de [tex3]a[/tex3] .

: AA96.png (5.29 KiB) Exibido 3928 vezes

Mensagem não lidapor **caju** » 08 Set 2007, 17:57 · Mensagem não lida por **caju** » 08 Set 2007, 17:57

Olá edu_landim,

Nesta resolução vou utilizar a fórmula de área de setor circular:

[tex3]A_{\text{setor}}=\frac{\alpha\cdot r^2}{2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{setor}}=\frac{\alpha\cdot r^2}{2}[/tex3]

Onde [tex3]\alpha[/tex3] é o arco do setor (em radianos) e [tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência suporte deste setor.

E usarei também a fórmula trigonométrica da área de um triângulo [tex3]ABC:[/tex3]

[tex3]A = \frac {\overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \sin (A\hat{B} C) }{2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A = \frac {\overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \sin (A\hat{B} C) }{2}[/tex3]

Veja a figura da questão com algumas modificações para nos auxiliar na resolução:

: AA98.png (12.18 KiB) Exibido 3868 vezes

Vamos começar calculando a área vermelha.
Esta área é calculada através da área do setor circular de arco [tex3]\alpha[/tex3] da circunferência de centro [tex3]F,[/tex3] [tex3]\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}[/tex3] ,menos a área do triângulo [tex3]AFE,[/tex3] [tex3]\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3] :

[tex3]A_{\text{vermelha}}=\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{vermelha}}=\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]

Com este mesmo raciocínio, conseguimos a área verde, que é a área do setor de arco [tex3]\pi-\alpha[/tex3] da circunferência de centro [tex3]C,[/tex3] [tex3]\frac{\alpha\cdot a^2}{2}[/tex3] , menos a área do triângulo [tex3]ACE,[/tex3] [tex3]\frac{a\cdot a\cdot\sin(\alpha)}{2}:[/tex3]

[tex3]A_{\text{verde}}=\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{verde}}=\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]

E a área azul, que é a área total do quadrado menos a área do quarto de círculo de centro [tex3]C[/tex3] menos a área do semicírculo de centro [tex3]F.[/tex3] Mas, como subtraímos duas vezes as áreas verde e vermelha, devemos incluir novamente para que não haja erros:

[tex3]A_{\text{azul}}=a^2-\frac{\pi\cdot a^2}{4}-\frac{\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}+A_{\text{verde}}+A_{\text{vermelha}}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{azul}}=a^2-\frac{\pi\cdot a^2}{4}-\frac{\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}+A_{\text{verde}}+A_{\text{vermelha}}[/tex3]

[tex3]A_{\text{azul}}=a^2-\frac{\pi\cdot a^2}{4}-\frac{\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}+\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}+\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{azul}}=a^2-\frac{\pi\cdot a^2}{4}-\frac{\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}+\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}+\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]

Efetuando os cálculos na expressão acima, chegamos em:

[tex3]A_{\text{azul}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{8}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{8}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{azul}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{8}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{8}[/tex3]

Agora o que o exercício pede é o valor da soma das três áreas coloridas:

[tex3]A_{\text{pedida}}=A_{\text{azul}}+A_{\text{verde}}+A_{\text{vermelha}}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{pedida}}=A_{\text{azul}}+A_{\text{verde}}+A_{\text{vermelha}}[/tex3]

[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{8}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{8}+\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}+\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{8}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{8}+\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}+\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}[/tex3]

Efetuando as continhas, temos:

[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{4}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{4}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{4}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{4}[/tex3]

Agora devemos encontrar o valor de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\sin(\alpha)[/tex3]

Encontramos este valor através do trângulo retângulo [tex3]FAC[/tex3] (que tem hipotenusa valendo [tex3]\frac{a\sqrt 5}{2})[/tex3] :

[tex3]\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{a}{\frac{a\sqrt 5}{2}}=\frac{2\sqrt 5}{5}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{a}{\frac{a\sqrt 5}{2}}=\frac{2\sqrt 5}{5}[/tex3]

[tex3]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\frac a2}{\frac{a\sqrt 5}{2}}=\frac{\sqrt 5}{5}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\frac a2}{\frac{a\sqrt 5}{2}}=\frac{\sqrt 5}{5}[/tex3]

Utilizando a fórmula [tex3]\sin(\alpha)=2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\sin(\alpha)=2\cdot\frac{2\sqrt 5}{5}\cdot\frac{\sqrt 5}{5}=\frac 45[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\sin(\alpha)=2\cdot\frac{2\sqrt 5}{5}\cdot\frac{\sqrt 5}{5}=\frac 45[/tex3]

Portanto

[tex3]\alpha = \arcsin\left(\frac 45\right)[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\alpha = \arcsin\left(\frac 45\right)[/tex3]

Substituindo estes valores na expressão da área pedida:

[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\cdot \arcsin\left(\frac 45\right) \cdot a^2}{4}-\frac{5a^2\cdot\frac 45}{4}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\cdot \arcsin\left(\frac 45\right) \cdot a^2}{4}-\frac{5a^2\cdot\frac 45}{4}[/tex3]

Resolvendo, encontramos:

[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2\cdot\left[\frac{5\cdot\arcsin\left(\frac 45\right)}{4}-\frac{3\cdot\pi}{8}\right][/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]A_{\text{pedida}}=a^2\cdot\left[\frac{5\cdot\arcsin\left(\frac 45\right)}{4}-\frac{3\cdot\pi}{8}\right][/tex3]

Espero não ter errado continhas.... hehehe

Mensagem não lidapor **edu_landim** » 28 Fev 2009, 16:20 · Mensagem não lida por **edu_landim** » 28 Fev 2009, 16:20

Olá Caju, utilizando uma calculadora, percebi que seu resultado deu negativo. Posto então minha resolução.

Inicalmente considere

[tex3]\large C_1[/tex3] o quarto de circunferência centrada em [tex3]\large C[/tex3] e tendo raio medindo [tex3]\large a[/tex3] .

[tex3]\large C_2[/tex3] a semicircunferência de diâmetro [tex3]\large AB[/tex3] , seu centro indicaremos por [tex3]\large M[/tex3]

o ponto de interseção de [tex3]\large C_1[/tex3] e [tex3]\large C_2[/tex3] será indicado por [tex3]\large P[/tex3] , conforme figura abaixo.

: imagema.JPG (6.04 KiB) Exibido 3144 vezes

Perceba que o [tex3]\large \Delta AMC\,\equiv\,\Delta PMC[/tex3] caso [tex3]\large LLL[/tex3] , logo

[tex3]\large M\hat{P}C\,=\,M\hat{A}C\,=\,\Large \frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\large M\hat{C}P\,=\,M\hat{C}A\,=\,\gamma[/tex3]

[tex3]\large P\hat{M}C\,=\,A\hat{M}C\,=\,\beta[/tex3]

Visualize o setor circular [tex3]\large APC[/tex3] , o segmento circular correspondente terá área indicada por [tex3]\large A_1[/tex3] .

[tex3]\large A_1\,=\,A_{\textrm{set}\,APC}\,-\,A_{\Delta APC}[/tex3]

[tex3]\large A_1\,=\,\pi\,\cdot\,a^2\,\cdot\,\Large \frac{2\gamma}{2\pi}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \,\cdot\,a^2\,\cdot\,\textrm{sen}\,2\gamma[/tex3]

[tex3]\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\gamma\,-\,a^2\,\cdot\,\textrm{sen}\,\gamma\,\cdot\,\cos\,\gamma[/tex3]

[tex3]\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\,(\gamma\,-\,\textrm{sen}\,\gamma\,\cdot\,\cos\,\gamma)[/tex3] (*)

Perceba agora que [tex3]\large \textrm{tg}\,\gamma\,=\,\Large \frac{1}{2}\large[/tex3] . Utilizando essa informação e a relação fundamental da trigonometria, pode-se descobrir os valores de [tex3]\large \textrm{sen}\,\gamma[/tex3] e [tex3]\large \cos\,\gamma[/tex3] .

Fazendo essas contas obtém-se [tex3]\large \textrm{sen}\,\gamma\,=\,\Large \frac{\sqrt{5}}{5}\large[/tex3] e [tex3]\large \cos\,\gamma\,=\,\Large \frac{2\sqrt{5}}{5}\large[/tex3]

Substituindo em (*) obteremos

[tex3]\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\,\left(\gamma\,-\,\Large \frac{2}{5}\large \right)[/tex3]

Visualize o setor circular [tex3]\large APM[/tex3] , o segmento circular correspondente terá área indicada por [tex3]\large A_2[/tex3] .

[tex3]\large A_2\,=\,A_{\textrm{set}\,APM}\,-\,A_{\Delta\, APM}[/tex3]

[tex3]\large A_2\,=\,\pi\,\cdot\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\Large \frac{2\beta}{2\pi}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \,\cdot\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\textrm{sen}\,2\beta[/tex3]

[tex3]\large A_2\,=\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,(\beta\,-\,\textrm{sen}\,\beta\,\cdot\,\cos\,\beta)[/tex3] (**)

Como [tex3]\large \gamma[/tex3] e [tex3]\large \beta[/tex3] são complementares temos

[tex3]\large \textrm{sen}\,\gamma\,=\,\cos\,\beta e \large \cos\,\gamma\,=\,\textrm{sen}\,\beta[/tex3]

Substituindo em (**) obteremos

[tex3]\large A_2\,=\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\left(\Large \frac{\pi}{2}\large \,-\,\gamma\,-\,\Large \frac{2}{5}\large \right)[/tex3]

A área da região externa a [tex3]\large C_1[/tex3] e [tex3]\large C_2[/tex3] será indicada por [tex3]\large A_3[/tex3] .

Para determinar [tex3]\large A_3[/tex3] utilizaremos uma composição de áreas para obtermos a área do quadrado ([tex3]\large A_Q)[/tex3] , como mostrado abaixo

[tex3]\large A_Q\,=\,A_{C_1}\,+\,A_{C_2}\,-\,(A_1\,+A_2)\,+\,A_3[/tex3]

[tex3]\large a^2\,=\,\Large \frac{\pi a^2}{4}\large \,+\,\Large \frac{\pi a^2}{8}\large \,-\,a^2\,\cdot\,\left(\Large \frac{3\gamma}{4}\large \,+\,\Large \frac{\pi}{8}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \right)\,+\,A_3[/tex3]

[tex3]\large A_3\,=\,a^2\,\cdot\,\left(\Large \frac{3\gamma}{4}\large \,-\,\Large \frac{\pi}{4}\large \,+\,\Large \frac{1}{2}\right)[/tex3]

A área hachurada é dada por [tex3]\large A_1\,+\,A_2\,+\,A_3[/tex3]

Agora basta somar, lembrando que [tex3]\large \gamma\,=\,\textrm{arctg}\,\left(\Large \frac{1}{2}\large \right)[/tex3]

[tex3]\large A_{\textrm{hachurada}}\,=\,a^2\,\cdot\,\left[\Large \frac{3}{2}\large \,\cdot\,\textrm{arctg}\,\left(\Large \frac{1}{2}\large \right)\,-\,\Large \frac{\pi}{8}\large \right][/tex3]

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