Olá a todos.
Estou com uma dúvida em uma questão:
A respeito da EDO [tex3]xy^2\frac{dy}{dx}=y^3 - x^3[/tex3]
faça o que se pede:
1. Verifique que a equação diferencial é uma equação homogênea.
2. Encontre a solução do PVI dado utilizando o método adequado
[tex3]\begin{cases}
xy^2\frac{dy}{dx}=y^3-x^3 \\
y(1) = 2
\end{cases}[/tex3]
3. Verifique se a solução encontrada está correta.
Quem puder me ajudar a resolver, agradeço.
Ensino Superior ⇒ Verificação EDO Tópico resolvido
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guimileski
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Mai 2020
15
20:02
Verificação EDO
Editado pela última vez por guimileski em 15 Mai 2020, 20:04, em um total de 1 vez.
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Cardoso1979
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Mai 2020
16
14:39
Re: Verificação EDO
Observe
Uma solução:
1. A EDO [tex3]xy^2\frac{dy}{dx}=y^3 -x^3[/tex3] equivale à xy².y' = y³ - x³ , temos então que
[tex3]y'=\frac{y^3-x^3}{xy^2}[/tex3]
Assim,
[tex3]f(tx,ty)=\frac{(ty)^3-(tx)^3}{tx.(ty)^2}[/tex3]
[tex3]f(tx,ty)=\frac{t^3y^3-t^3x^3}{tx.t^2y^2}[/tex3]
[tex3]f(tx,ty)=\frac{\cancel{t^3}.(y^3-x^3)}{\cancel{t^3}.x.y^2}[/tex3]
Logo,
[tex3]f(tx,ty)=\frac{y^3-x^3}{xy^2}[/tex3] . C.q.v.
Ahhhhh! É só isso? É
2. [tex3]xy^2\frac{dy}{dx}=y^3 - x^3[/tex3]
Podemos escrever essa EDO da seguinte maneira
[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{y^3 - x^3}{xy^2} \ ( I )[/tex3]
Fazendo y = vx , temos que , derivando implicitamente em relação a x , vem;
y' = v'.x + v.x'
y' = v'.x + v.1
Que equivale à
[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dx}.x+v \ ( II )[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ) , fica;
[tex3]\frac{dv}{dx}x+v=\frac{y^3-x^3}{xy^2}[/tex3]
Obs.1 y = vx
Desenvolvendo , você irá obter
[tex3]\frac{dv}{dx}x=-\frac{1}{v^2}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]\int\limits_{}^{}v^2 \ dv=-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x} \ dx[/tex3]
Logo,
v³ = - 3ln(x) + C
Obs.2 Não irei usar o módulo para o logaritmando x, para evitar cálculos trabalhosos, ou seja , vou considerar x > 0 , na realidade muitos dos livros de cálculos nem chegam a colocar o módulo na resposta final!
Mas , [tex3]v=\frac{y}{x}[/tex3] , daí
y³ = - 3x³ln( x ) + Cx³ ( solução implícita da EDO dada )
Vamos encontrar o valor da constante C , usando o PVI y( 1 ) = 2 , ou seja , x = 1 e y = 2 , temos
2³ = - 3.1³.ln( 1 ) + C.1³
Logo,
C = 8
Assim,
y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³
3. Não sei se o seu professor é exigente, mais existem n maneiras de verificarmos se a solução encontrada está correta! Se ele for exigente , mande ele catar coquinho,
Uma maneira:
Vamos derivar implicitamente em relação a x a solução y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³ , temos
3y².y' = (- 3x³)'.ln ( x ) - 3x³.[ ln(x) ]' + 24x²
3y².y' = - 9x²ln ( x ) - 3x² + 24x²
3y².y' = - 9x²ln ( x ) + 21x²
y².y' = - 3x²ln ( x ) + 7x² → × ( x )
xy².y' = - 3x³ln ( x ) + 7x³ → + x³ - x³
xy².y' = - 3x³ln ( x ) + 7x³ + x³ - x³
xy².y' = - 3x³ln ( x ) + 8x³ - x³
Mas ,
y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³
Então,
xy².y' = y³ - x³
Logo,
[tex3]xy^2\frac{dy}{dx}=y^3 - x^3[/tex3]
Portanto, a solução implícita y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³ se verifica , em outras palavras, a solução encontrada está correta! C.q.v.
Obs.3 uma outra maneira seria você encontrar a igualdade 0 = 0 , ah! Tem várias maneiras...
Nota
Você também poderia utilizar a substituição x = vy , talvez seja mais trabalhoso, não sei lhe informar com precisão pois não tentei!
Talvez transformando numa equação de Bernoulli seja mais prático, mais só acho!
Ahhhhh! Tem muita informação esclarecedora aí, agora é com você, mãos a obra! Fuiii!
Bons estudos!
Uma solução:
1. A EDO [tex3]xy^2\frac{dy}{dx}=y^3 -x^3[/tex3] equivale à xy².y' = y³ - x³ , temos então que
[tex3]y'=\frac{y^3-x^3}{xy^2}[/tex3]
Assim,
[tex3]f(tx,ty)=\frac{(ty)^3-(tx)^3}{tx.(ty)^2}[/tex3]
[tex3]f(tx,ty)=\frac{t^3y^3-t^3x^3}{tx.t^2y^2}[/tex3]
[tex3]f(tx,ty)=\frac{\cancel{t^3}.(y^3-x^3)}{\cancel{t^3}.x.y^2}[/tex3]
Logo,
[tex3]f(tx,ty)=\frac{y^3-x^3}{xy^2}[/tex3] . C.q.v.
Ahhhhh! É só isso? É
2. [tex3]xy^2\frac{dy}{dx}=y^3 - x^3[/tex3]
Podemos escrever essa EDO da seguinte maneira
[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{y^3 - x^3}{xy^2} \ ( I )[/tex3]
Fazendo y = vx , temos que , derivando implicitamente em relação a x , vem;
y' = v'.x + v.x'
y' = v'.x + v.1
Que equivale à
[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dx}.x+v \ ( II )[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ) , fica;
[tex3]\frac{dv}{dx}x+v=\frac{y^3-x^3}{xy^2}[/tex3]
Obs.1 y = vx
Desenvolvendo , você irá obter
[tex3]\frac{dv}{dx}x=-\frac{1}{v^2}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]\int\limits_{}^{}v^2 \ dv=-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x} \ dx[/tex3]
Logo,
v³ = - 3ln(x) + C
Obs.2 Não irei usar o módulo para o logaritmando x, para evitar cálculos trabalhosos, ou seja , vou considerar x > 0 , na realidade muitos dos livros de cálculos nem chegam a colocar o módulo na resposta final!
Mas , [tex3]v=\frac{y}{x}[/tex3] , daí
y³ = - 3x³ln( x ) + Cx³ ( solução implícita da EDO dada )
Vamos encontrar o valor da constante C , usando o PVI y( 1 ) = 2 , ou seja , x = 1 e y = 2 , temos
2³ = - 3.1³.ln( 1 ) + C.1³
Logo,
C = 8
Assim,
y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³
3. Não sei se o seu professor é exigente, mais existem n maneiras de verificarmos se a solução encontrada está correta! Se ele for exigente , mande ele catar coquinho,
Uma maneira:
Vamos derivar implicitamente em relação a x a solução y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³ , temos
3y².y' = (- 3x³)'.ln ( x ) - 3x³.[ ln(x) ]' + 24x²
3y².y' = - 9x²ln ( x ) - 3x² + 24x²
3y².y' = - 9x²ln ( x ) + 21x²
y².y' = - 3x²ln ( x ) + 7x² → × ( x )
xy².y' = - 3x³ln ( x ) + 7x³ → + x³ - x³
xy².y' = - 3x³ln ( x ) + 7x³ + x³ - x³
xy².y' = - 3x³ln ( x ) + 8x³ - x³
Mas ,
y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³
Então,
xy².y' = y³ - x³
Logo,
[tex3]xy^2\frac{dy}{dx}=y^3 - x^3[/tex3]
Portanto, a solução implícita y³ = - 3x³ln( x ) + 8x³ se verifica , em outras palavras, a solução encontrada está correta! C.q.v.
Obs.3 uma outra maneira seria você encontrar a igualdade 0 = 0 , ah! Tem várias maneiras...
Nota
Você também poderia utilizar a substituição x = vy , talvez seja mais trabalhoso, não sei lhe informar com precisão pois não tentei!
Talvez transformando numa equação de Bernoulli seja mais prático, mais só acho!
Ahhhhh! Tem muita informação esclarecedora aí, agora é com você, mãos a obra! Fuiii!
Bons estudos!
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