IME/ITA ⇒ (Irodov) Dinâmica Tópico resolvido

[HHHoppe]

No sistema da Figura, uma bolinha tem uma pequena abertura que permite o fio passar através dela com algum atrito. No instante inicial, a bolinha estava posicionada exatamente no mesmo nível horizontal da extremidade inferior da barra. Quando o sistema é abandonado a partir do repouso, os corpos movem-se com aceleração constante. Determine a intensidade da força de atrito cinética trocada entre o fio e a bolinha, sabendo que, t segundos após o início do movimento, a bolinha atinge o mesmo nível horizontal da extremidade superior da barra. O comprimento da barra vale L, a gravidade local vale g e as massas da barra e da bolinha valem, respectivamente, M e m, com M > m.

[undefinied3]

Não tem a figura? Ficou meio difícil iinterpretar essa barra e "mesma horizontal" e tudo mais sem a figura.

[HHHoppe]

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[HHHoppe]

Desculpe-me pela ausência da figura.
Estou com dificuldade no entendimento das forças na bolinha e em como relacionar as acelerações dos corpos

[undefinied3]

Seja F essa força de atrito cinética. Supondo que a bolinha suba, então para ela podemos escrever:
[tex3]F-mg=ma[/tex3]

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[tex3]F-mg=ma[/tex3]

Se a bolinha sofre uma força F de atrito do fio para cima, o fio recebe F para baixo. Sendo um fio ideal, essa é a tração nele, portanto para a barra:
[tex3]Mg-F=Mb[/tex3]

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[tex3]Mg-F=Mb[/tex3]

Porque, em um fio ideal, a tração ao longo dele todo deve ser a mesma.
Somando as duas:
[tex3](M-m)g=ma+Mb \rightarrow a= \frac{M(g-b)}{m}-g[/tex3]

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[tex3](M-m)g=ma+Mb \rightarrow a= \frac{M(g-b)}{m}-g[/tex3]

Note que a aceleração da barra e da bolinha não são necessariamente iguais, pois não há o vínculo do comprimento do fio ser constante envolvido. O tanto que o fio desce (e portanto faz a barra descer) tem uma proporção desigual com o tanto que a bolinha sobe em função do atrito.
Assim, temos a bolinha subindo com "a" e a barra descendo com "b". A aceleração relativa é [tex3]a+b=\frac{M(g-b)}{m}-g+b=\frac{Mg-Mb-mg+mb}{m}=\frac{(M-m)g-(M-m)b}{m}=\frac{(M-m)(g-b)}{m}[/tex3]

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[tex3]a+b=\frac{M(g-b)}{m}-g+b=\frac{Mg-Mb-mg+mb}{m}=\frac{(M-m)g-(M-m)b}{m}=\frac{(M-m)(g-b)}{m}[/tex3]

Pela cinemática e o tempo dado, podemos escrever:
[tex3]L=\frac{(a+b)t^2}{2} \rightarrow \frac{2L}{t^2}=\frac{(M-m)(g-b)}{m} \rightarrow \therefore g-b=\frac{2mL}{t^2(M-m)}[/tex3]

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[tex3]L=\frac{(a+b)t^2}{2} \rightarrow \frac{2L}{t^2}=\frac{(M-m)(g-b)}{m} \rightarrow \therefore g-b=\frac{2mL}{t^2(M-m)}[/tex3]

Voltando na primeira equação:
[tex3]F=m(a+g)=m(\frac{M(g-b)}{m}-g+g)=M(g-b)[/tex3]

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[tex3]F=m(a+g)=m(\frac{M(g-b)}{m}-g+g)=M(g-b)[/tex3]

[tex3]\therefore F=\frac{2MmL}{t^2(M-m)}[/tex3]

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[tex3]\therefore F=\frac{2MmL}{t^2(M-m)}[/tex3]

[HHHoppe]

Muito obrigado mesmo undefinied.
Mas ainda não entendi muito bem essa força F que atua na bolinha.
Por que a força aponta pra cima? As forças de tração em cima e embaixo da bolinha não deveriam se cancelar?
Nunca havia me deparado com este tipo de questão em que há um fio com atrito.

[undefinied3]

Vamos relembrar algumas coisas de atrito. Sabemos que ele aponta contra a tendência de escorregamento, sendo assim, tome a situação que o a barra está descendo, e, portanto, no trecho com a bolinha, o fio está subindo. Ora, o fio quer subir enquanto passa pela bolinha, mas há atrito, então o quer evitar que o fio continue subindo. Sendo assim, no fio, há uma força de atrito direcionada para baixo. Pela terceira lei de Newton, deve haver uma reação de mesmo módulo e sentido oposto na bolinha, portanto uma força de atrito para cima que iria querer levantar a bolinha. Não tem uma força de atrito "em cima e embaixo" da bolinha, só há uma força para cima nela, enquanto que no fio, é a reação desta força, portanto para baixo, mas note que são em corpos distintos, a bolinha e o fio. Seria a mesma ideia de um exercício que você provavelmente já deve ter feito onde temos por exemplo uma tábua e um bloquinho em cima desta tábua. Se puxarmos a tábua devagar, não haverá deslizamento entre os dois corpos, e o bloco em cima da tábua acompanhará com mesma aceleração a tábua em todo momento. Porém, se puxarmos a tábua muito rápido, o bloco de cima ainda irá acompanhar o sentido do movimento da tábua, mas não com mesma aceleração, pois haverá deslizamento. Seria essa segunda situação que está ocorrendo no exercício, pois é dito que o atrito é cinético.
Continuando, agora a segunda parte que também é um pouco chatinha de entender que é essa força de atrito atuando no fio. Uma coisa que acabamos fazendo bastante no automático é análise de forças no fio, e quando nos deparamos em um exercício mais fora do comum, acabamos ficando sem entender. Você concorda comigo que, se eu tenho um bloquinho, um fio e outro bloquinho conectado pelo fio, no momento que eu puxo um desses bloquinhos, eu produzo uma tração nesse fio. Sendo o fio ideal, automaticamente colocamos no segundo bloquinho que essa mesma tração (na verdade a reação dela no bloco, pois a tração está no fio) é o que está movimentando o segundo bloquinho. É o famoso sistema de equações:
[tex3]F-T=m_1a[/tex3]

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[tex3]F-T=m_1a[/tex3]

[tex3]T=m_2a[/tex3]

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[tex3]T=m_2a[/tex3]

Onde F é uma força que fazemos para movimentar o primeiro bloquinho. O que estamos escrevendo, do ponto de vista do fio, é que a resultante das forças nele, por ser ideal, deve ser nula, ou seja, se há uma força W que puxa esse fio de um lado, deve haver essa mesma força W puxando ele para outro lado. Voltando à questão que você colocou, temos uma força F de atrito atuando no fio, que puxa ele para baixo no ramo com a bolinha. Por outro lado, este fio está conectado a uma barra no outro ramo que quer descer, então também deve haver uma tração neste fio porque a barra está querendo puxar ele junto com ela. Como já identificamos como sendo a força de atrito F quem puxa o fio para um lado, essa tração no outro ramo deve ser a mesma força F para respeitar tudo o que eu disse acima sobre o comportamento do fio.
Em suma, tudo se torna muito parecido com o problema mais original de uma polia e dois bloquinhos de massas diferentes, um em cada lado. A única diferença desse caso original para o problema em questão é o vínculo geométrico: no caso original, o fio é conectado aos dois bloquinhos, de modo que, se um desce x, o outro também deve descer y. Nesse problema, não há esse vínculo, tanto que, na resolução, eu acabei colocando uma aceleração "a" e outra "b" para cada um dos corpos. Isso porque, como eu tinha dito, não sabemos a força de atrito e portanto não temos uma relação de quanto de fio, digamos x, deve passar pela bolinha para que o atrito levante ela por, digamos y. Essa relação está implícita no tempo que ele deu para os corpos se desencontrarem na vertical.
Agora, o único chute do problema era se o atrito seria tão alto ao ponto da bolinha subir (ou seja, o atrito vence o peso da bolinha), ou não era tão alto e a bolinha continasse descendo. Repare que de fato, podemos ter a barra descendo e a bolinha também, que seria justamente esse segundo caso. Eu chutei o primeiro caso, mas, se equacionássemos o segundo, alguns sinais nas equações inverteriam e, diferente do momento que eu somei as acelerações para encontrar a relativa e fazer o cálculo da cinemática, teríamos de fazer a subtração, pois tanto a barra quanto a bolinha estariam descendo. No final das contas, creio que é pra dar o mesmo resultado, mas não posso lhe afirmar porque não testei, fui direto no caso mais direto de montar as equações que é supor cada um pra uma direção.
Acredito que tenha ficado claro agora.

[HHHoppe]

Primeiramente muito obrigado pela ajuda, o seu conhecimento é incrível. Ficou extremamente claro.
De manhã quando vi a sua resolução refiz a questão arbitrando que ambos movem-se para cima e dá sim o mesmo resultado.
Você já me respondeu um tópico sobre isso e, realmente, pode-se arbitrar todos os sentidos dos movimentos, desde que as relações entre as acelerações dos corpos contemplem os sentidos arbitrados. O sentido arbitrado fica implícito no equacionamento da segunda lei (quais forças somam e quais subtraem) e também deve ser contemplado quando se utiliza relatividade galileana derivada com relação ao tempo (o que tu nunca deve usar, mas eu to usando porque ainda não estudei referencial não inercial)
Valeu mesmo, cara!