Sejam m e n inteiros positivos tais que:
[tex3]\frac{m}{n}[/tex3]
= 1 - [tex3]\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}[/tex3]
+ ... - [tex3]\frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}[/tex3]
.
Prove que m é divisível por 1979.
Olimpíadas ⇒ IMO - Divisibilidade Tópico resolvido
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IMO - Divisibilidade
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- undefinied3
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14
22:59
Re: IMO - Divisibilidade
Questão incrível, vários pulos de gato pra fazer.
Reescreva a expressão da seguinte maneira:
[tex3]1-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1319}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1318})[/tex3]
Sobram apenas metade dos termos.
[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]
Agora, repare que a soma de um termo com seu "simétrico" é 1979. Então vamos fazer isso:
[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{1319}+...+\frac{1}{989}+\frac{1}{990}=\frac{1979}{660.1319}+...+\frac{1979}{989.990}[/tex3]
Veja, para concluir, que 1979 é primo, e portanto os denominadores nunca irão dividir 1979, mesmo após somar todas as fraçoes e tirar o denominador em comum. Assim a gente conclui que a soma é do tipo [tex3]\frac{m}{n}[/tex3] , com m múltiplo de 1979
Reescreva a expressão da seguinte maneira:
[tex3]1-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1319}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1318})[/tex3]
Sobram apenas metade dos termos.
[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]
Agora, repare que a soma de um termo com seu "simétrico" é 1979. Então vamos fazer isso:
[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{1319}+...+\frac{1}{989}+\frac{1}{990}=\frac{1979}{660.1319}+...+\frac{1979}{989.990}[/tex3]
Veja, para concluir, que 1979 é primo, e portanto os denominadores nunca irão dividir 1979, mesmo após somar todas as fraçoes e tirar o denominador em comum. Assim a gente conclui que a soma é do tipo [tex3]\frac{m}{n}[/tex3] , com m múltiplo de 1979
Editado pela última vez por undefinied3 em 14 Abr 2017, 22:59, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Abr 2017
14
23:04
Re: IMO - Divisibilidade
Muito Obrigado undefinied3!
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 14 Abr 2017, 23:06, em um total de 1 vez.
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