Maratonas de Física

Para todos aqueles que almejam uma vaga no IME/ITA o fórum TutorBrasil criou uma maratona de exercícios para fazer seu estudo andar mais rápido!

1)O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a útlima questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.
2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva do IME ou do ITA.
3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui.
4) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.
5) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la, disponibilizando para que seja postada uma nova.
6) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.
7) Toda questão que não for do IME/ITA deverá ser postado o gabarito juntamente com a questão.

Veja como devemos proceder.
Problema 1

Quem for resolver deverá escrever:
Solução do Problema 1

Bons estudos!

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Problema 1
Uma pedra é solta do topo de um penhasco e 1s depois uma segunda pedra é lançada verticalmente para baixo com uma velocidade de 20 m/s. Sabendo que as duas pedras chegam ao solo ao mesmo tempo, determine a altura do penhasco.

Solução do Problema 1
Para pedra 1 temos,
[tex3]v_2=v_0+gt[/tex3]
[tex3]v_2=0+10.1=10m/s[/tex3]

[tex3]v_2^2=v_0^2+2gh[/tex3]
[tex3]100=0+20.h[/tex3]
[tex3]h=5m[/tex3]

Escrevendo as equações horárias,
Pedra 1: [tex3]S_1=5+10t+5t^2[/tex3]
Pedra 2: [tex3]S_2=0+20t+5t^2[/tex3]

Seja [tex3]S_1=S_2[/tex3] temos,
[tex3]5+10t+5t^2=20t+5t^2[/tex3]
[tex3]t=0,5s[/tex3]

Substituindo em qualquer equação horária,
[tex3]S_1=20.(0,5)+5.(0,5)^2=H[/tex3]
[tex3]\boxed{H=11,25\,m}[/tex3]
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Problema 2

(IME - 2003) Um elétron se encontra a uma distância de 2 mm de um fio retilíneo, movendo-se paralelamente a ele com a mesma velocidade que uma onda luminosa em uma fibra óptica. Uma chave é ligada, fazendo circular uma corrente elétrica no fio. Determine o valor desta corrente para que o elétron seja submetido a uma força de [tex3]1,28.10^{-14} N[/tex3] , no momento em que a corrente começa a circular.

Dados:
Índice de refração da fibra óptica:[tex3]n = 1,5[/tex3] .
Velocidade da luz no vácuo: [tex3]c = 3.10^8 m/s[/tex3] .
Permeabilidade magnética do vácuo:[tex3]\mu _0 = 4\pi .10^{-7} H/m[/tex3] .
Carga do elétron:[tex3]e = -1,6.10^{-19} C[/tex3] .

Solução do Problema 2

Sabemos que,
[tex3]F_m=B\cdot q\cdot v=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}q\frac{c}{n}[/tex3]

Logo,
[tex3]i=\frac{F_m.2\pi .r.n}{\mu_o .q.c}[/tex3]

Substituindo os valores,
[tex3]i=\frac{2\pi \cdot (1,28\cdot 10^{-14})(2\cdot 10^{-3})\cdot 1,5}{(4\pi \cdot 10^{-7})\cdot (1,6.10^{-19})\cdot (3\cdot 10^8)}[/tex3]

[tex3]\boxed{i=4A}[/tex3]
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Problema 3

Um foguete é lançado de uma base submarina a 125m abaixo da superfície da água. Ele se move verticalmente para cima com uma aceleração desconhecida,mas constante, e atinge a superfície da água em 2,15s. No momento em que cruza a água seus motores são desligados. Qual a altura máxima atingida pelo foguete após cruzar a água?

Resposta

[tex3]H\approx 676m[/tex3]

Mensagem não lida por **Marcovsky** » 21 Out 2011, 20:20

Solução problema 3

dentro da água:

[tex3]H=\left(\frac{a\cdot t^2}{2}\right)\,\,\longrightarrow\,\,\,125= \frac{a\cdot 2,15^2}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{250}{2,15^2}=a[/tex3]

[tex3]V= v_o + at\,\,\,\longrightarrow\,\,\,V=at\,\,\,\longrightarrow\,\,\,V=\frac{250}{2,15}[/tex3]

No ar:

[tex3]V^2=2gH\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\left(\frac{250}{2,15}\right)^2 = 2\cdot 10\cdot H\,\,\,\longrightarrow\,\,\,H =\frac{13520,82}{20}[/tex3]

[tex3]H\approx 676m[/tex3]

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Problema 4

Mediante chave seletora, um chuveiro elétrico tem a sua resistência graduada para dissipar 4,0kW no inverno, 3,0kW no outono, 2,0kW na primavera e 1,0kW no verão. Numa manhã de inverno, com temperatura ambiente de 10°C, foram usados 10,0 l de água desse chuveiro para preencher os 16% do volume faltante do aquário de peixes ornamentais, de modo a elevar sua temperatura de 23°C para 28°C. Sabe-se que 20% da energia é perdida no aquecimento do ar, a densidade da água é r = 1,0 g/cm3 e calor específico da água é 4,18J/gK. Considerando que a água do chuveiro foi colhida em 10 minutos, em que posição se encontrava a chave seletora? Justifique.

Mensagem não lida por **poti** » 28 Out 2011, 00:28

Solução do Problema 4

Usando a fórmula do calor sensível:

[tex3]Q = m.c. \Delta{T}[/tex3]

[tex3]\Delta Q = Q_1 + Q_2 = 0[/tex3]

Cálculo da massa total de água:

[tex3]16\% - 10L[/tex3]
[tex3]100\% - x[/tex3]

[tex3]x = 62,5L[/tex3]

Água que sai do chuveiro:

[tex3]m_1 . c_{agua} . \Delta T_1 + m_2 . c_{agua} . \Delta T_2 = 0[/tex3]

Usando [tex3]c = 4,2[/tex3] para facilitação nas contas:

[tex3]10. 4,2 . (28 - T) + (62,5 - 10). 4,2 . (28 - 23) = 0[/tex3]

[tex3]42.28 - 42T + 52,5 . 4,2 . 5 = 0[/tex3]

[tex3]1176 - 42T + 1102,5 = 0[/tex3]

[tex3]42T = 2278[/tex3]

[tex3]T \approx 54[/tex3]

Calor recebido da água:

[tex3]Q = 10 . 4,2 . (54 - 10)[/tex3]

[tex3]Q = 1848[/tex3]

--

Potência Usada: [tex3]\frac{Q}{Tempo} = \frac{1848}{10min} = \frac{1848}{600s} = 3,1kW[/tex3]

Rendimento: [tex3]P_u / P_{Total}[/tex3]

[tex3]P_{Total} = \frac{P_u}{Rend}[/tex3]

[tex3]P_{Total} = \frac{3,1}{80% = 0,8}[/tex3]

[tex3]P_{Total} = 3,9kW[/tex3]

Portanto, a chave estava no inverno.

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Problema 5

(ITA-89) Um corpo desliza sobre um plano inclinado, cujo coeficiente de atrito de deslizamento é [tex3]u = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{3}[/tex3] . Qual deve ser o ângulo do plano com a horizontal para que a velocidade do corpo se mantenha constante ?

a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 75º

Solução do Problema 5

Como o bloco tem velocidade constante, temos que [tex3]a=0 m/s^2[/tex3] , sendo assim o bloco está em equilíbrio.
Assim temos que,
[tex3]Fat=Psen \theta[/tex3]
[tex3]\mu N=mgsen \theta[/tex3]

[tex3]N=Pcos\theta[/tex3]
[tex3]N=mgcos\theta[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\mu mgcos\theta=mgsen \theta[/tex3]

[tex3]tan\theta =\mu=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\theta=30[/tex3] . Letra B
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Problema 6

(ITA-2005) Num experimento, foi de [tex3]5,0.10^3 m/s[/tex3] a velocidade de um elétron, medida com precisão de 0,003%. Calcule a incerteza na determinação da posição do elétron, sendo conhecidos:
massa do elétron [tex3]m_e = 9,1.10^{-31} kg[/tex3] e constante de Plank [tex3]\hbar = 1,1.10^{-34} Js[/tex3]

Resposta

[tex3]\Delta x=8,1.10^{-4}m[/tex3]

guinha · Mensagem não lida por **guinha** » 04 Nov 2011, 10:13

Solução do Problema 6

Da equação de Heisenberg, temos que:

[tex3]\Delta{Q}\Delta{X}\geq{\hbar}[/tex3]

como a massa do elétron é constante, vem que:

[tex3]m_e\Delta{V}\Delta{X}\geq{\hbar}[/tex3]

como
[tex3]\Delta{V}=3.10^{-5}.5.10^3[/tex3] e [tex3]m_e=9,1.10^{-31}[/tex3]

[tex3]\Delta{X}\geq{\frac{\hbar}{m_e.\Delta{V}}}[/tex3]

substituindo os valores encontrados, temos que:

[tex3]\Delta{X}\geq8.10^{-4}[/tex3]

a imprecisão é de aproximadamente 0,081%
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Problema 7

(ITA-2011) Obtenha uma expressão para as energias das órbitas do modelo de Bohr do átomo de hidrogênio usando a condição de que o comprimento da circunferência de uma órbitado elétron ao redordo próton seja igual a um número inteiro de comprimentos de onda de De Broglie do elétron.

04 Nov 2011, 23:14

Solução do Problema 7

A força elétrica é a componente centrípeta do movimento, ou seja,
[tex3]F_e=F_{cp}[/tex3]
[tex3]\frac{ke^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}[/tex3]
[tex3]mv^2=\frac{ke^2}{r}[/tex3] (1)

[tex3]E=E_t=E_c+E_p[/tex3]
[tex3]E=\frac{mv^2}{2}+(-\frac{ke^2}{r})[/tex3]
[tex3]E=\frac{ke^2}{2r}-\frac{ke^2}{r}[/tex3]
[tex3]E=-\frac{e^2}{8\pi \varepsilon _0}\cdot\frac{1}{r}[/tex3] (2)

Do postulado de Bohr temos que,
[tex3]mvr=n\frac{h}{2\pi}[/tex3]
[tex3]v^2=\frac{h^2}{4\pi ^2 m^2r^2}n^2[/tex3] (3)

De (1) e (3) vem,
[tex3]m\left(\frac{h^2}{4\pi ^2 m^2r^2}n^2\right)=\frac{ke^2}{r}[/tex3]
[tex3]r=\frac{n^2h^2 \varepsilon _0}{\pi m e^2}[/tex3] (4)

De (2) e (4) temos,
[tex3]E=-\frac{e^2}{8\pi \varepsilon _0}\cdot\frac{1}{\frac{n^2h^2 \varepsilon _0}{\pi m e^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{E(n)=-\left(\frac{me^4}{8\varepsilon _0^2h^2}\right)\cdot\frac{1}{n^2}}[/tex3]

Substituindo os valores encontramos uma relação conhecida,
[tex3]E(n)=-13,6\cdot\frac{1}{n^2}\,eV[/tex3]

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Problema 8

(ITA-2011) O tubo mais curto de um orgão típico de tubos tem um comprimento de aproximadamente 7 cm. Qual é o harmônico mais alto na faixa audível, considerada como estando entre 20 Hz e 20.000 Hz, de um tubo deste comprimento aberto nas duas extremidades?

12 Nov 2011, 15:50

Solução do problema 8

Frequência no 1º harmônico :
[tex3]f1 = \frac{V}{\lambda} = \frac{340}{0,14} Hz[/tex3]

Frequência nos outros harmônicos:
[tex3]f_k = k.\frac{340}{0,14} Hz\Rightarrow k =[/tex3] ordem do harmônico obtido. (k inteiro).

Como a máxima frequência é 20000Hz, temos:

[tex3]f_k < 20000[/tex3]
[tex3]k.\frac{340}{0,14} < 20000[/tex3]
[tex3]k < 8,23\Rightarrow k = 8[/tex3]

Portanto,
[tex3]f = 8.\frac{340}{0,14}[/tex3]
[tex3]f \approx 8.2428[/tex3]
[tex3]\boxed{f \approx 19424 Hz}[/tex3]

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Problema 9

(ITA - 2008) Certa quantidade de oxigênio (considerado aqui como gás ideal ocupa um volume [tex3]v_i[/tex3] a uma temperatura [tex3]T_i[/tex3] e uma pressão [tex3]p_i[/tex3] . A seguir, toda essa quantidade é comprimida, por meio de um processo adiabático e quase estático, tendo reduzido o seu volume para [tex3]v_f = \frac{v_i}{2}[/tex3] . Indique o valor do trabalho realizado pelo gás.

a) [tex3]\frac{3}{2}\cdot(p_i v_i)(2^{0,7} - 1)[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{2}\cdot(p_i v_i)(2^{0,7} - 1)[/tex3]
c) [tex3]\frac{5}{2}\cdot(p_i v_i)(2^{0,4} - 1)[/tex3]
d) [tex3]\frac{3}{2}\cdot(p_i v_i)(2^{1,7} - 1)[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{2}\cdot(p_i v_i)(2^{1,4} - 1)[/tex3]

12 Nov 2011, 17:32

Solução do Problema 9

Para uma transformação Adiabátição,
[tex3]p_iv_i ^{\gamma}=p_fv_f ^{\gamma}[/tex3]
[tex3]p_iv_i ^{\gamma}=p_f\left(\frac{v_i}{2}\right)^{\gamma}[/tex3]
[tex3]p_f=2^{\gamma}p_i[/tex3]

Para o trabalho realizado sobre o gás,
[tex3]W=\frac{5}{2}nR\Delta T[/tex3]
[tex3]W=\frac{5}{2}(p_fv_f -p_iv_i )[/tex3]
[tex3]W=\frac{5}{2}(2^{\gamma}p_i\frac{v_i}{2} -v_ip_i)[/tex3]
[tex3]W=\frac{5}{2}p_iv_i(2^{\gamma-1}-1)[/tex3]

Para [tex3]O_2[/tex3] temos que [tex3]\gamma =1,4[/tex3] (Diatônico)

Portanto,
[tex3]\boxed{W=\frac{5}{2}p_iv_i(2^{0,4}-1)}[/tex3] . Letra C

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Problema 10

(ITA-1997) Uma massa pontual se move, sob influência da gravidade e sem atrito, com velocidade angular w em um círculo a altura [tex3]h \neq 0[/tex3] na superfície interna de um cone que forma um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com o eixo central, como mostrado na figura. A latura h da massa em relação ao vértice do cone é:

: ITA 97.PNG (17.82 KiB) Exibido 17785 vezes

a) [tex3]\frac{g}{w^2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{g}{w^2}\text{sen}\alpha[/tex3]
c) [tex3]\frac{g}{w^2}\frac{\cot\alpha}{\text{sen}\alpha}[/tex3]
d) [tex3]\frac{g}{w^2}\cot^2\alpha[/tex3]
e) Inexistente, pois a única posição de equilíbrio é [tex3]h=0[/tex3] .

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