Ensino Fundamental ⇒ Equação algébrica Tópico resolvido
Dez 2008
13
10:09
Equação algébrica
Sendo m um número inteiro maior do que 2 e [tex3]A = 2^{m-2} * 3^{m}[/tex3]
, o número de divisores inteiros e positivos de [tex3]A[/tex3]
é: Resp: [tex3]m^{2}-1[/tex3]
Editado pela última vez por fred2366 em 13 Dez 2008, 10:09, em um total de 1 vez.
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ALDRIN
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Dez 2008
16
20:02
Re: Equação algébrica
Quantidades de divisores inteiros e positivos de A:
[tex3](m-2+1).(m+1)=(m-1)(m+1)=m^2-1[/tex3]
[tex3](m-2+1).(m+1)=(m-1)(m+1)=m^2-1[/tex3]
Editado pela última vez por ALDRIN em 16 Dez 2008, 20:02, em um total de 1 vez.
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
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caju
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Dez 2008
17
14:26
Re: Equação algébrica
Só para engrandecer a resolução do Aldrin vou lembrar como fazer para encontrar a quantidade de divisores inteiros e positivos de um número.
Pega-se o expoente de cada fator primo do número, aumenta-se uma unidade em cada um, e multiplica-se todos.
Foi exatamente isso que o Aldrin fez.
Abraço
Pega-se o expoente de cada fator primo do número, aumenta-se uma unidade em cada um, e multiplica-se todos.
Foi exatamente isso que o Aldrin fez.
Abraço
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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Dez 2008
17
14:38
Re: Equação algébrica
Olá prof, poderia demonstrar porque isso funciona?
Obrigado!
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caju
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Dez 2008
17
21:57
Quantidade de divisores positivos de um número
Olá a todos,
Vou tentar demonstrar a forma de encontrar a quantidade de divisores naturais de um número natural.
Quando temos um número [tex3]X[/tex3] que pode ser decomposto em fatores primos:
[tex3]X=2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot 5^{x_3}\cdot 7^{x_4}\cdot 11^{x_5}\cdot 13^{x_6}\cdot\cdot\cdot[/tex3]
Devemos descobrir quais os números [tex3]Y[/tex3] que podem servir como divisor de [tex3]\frac{X}{Y}[/tex3] e retornar um quociente inteiro:
[tex3]\frac{2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot 5^{x_3}\cdot 7^{x_4}\cdot 11^{x_5}\cdot 13^{x_6}\cdot\cdot\cdot}{Y}[/tex3]
Agora, este número [tex3]Y[/tex3] só poderá ter, em sua decomposição em primos, os fatores que existirem em [tex3]X[/tex3] . Ou seja, vamos ver os dois decompostos em fatores primos:
[tex3]\frac{2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot 5^{x_3}\cdot 7^{x_4}\cdot 11^{x_5}\cdot 13^{x_6}\cdot\cdot\cdot}{2^{y_1}\cdot 3^{y_2}\cdot 5^{y_3}\cdot 7^{y_4}\cdot 11^{y_5}\cdot 13^{y_6}\cdot\cdot\cdot}[/tex3]
Para que a divisão seja inteira, o expoente y_1 só pode ser os valores
[tex3]y_1\in\{0,1,2,3,4,...,x_1\}[/tex3]
Idem para todos os outros expoentes. Ou seja, o expoente [tex3]y_1[/tex3] pode ser [tex3]x_1+1[/tex3] valores diferentes.
Pelo princípio fundamental da contagem, a quantidade de números diferentes que conseguiremos será o produto das quantidades de expoentes que conseguirmos para o denominador:
quantidade de divisores = [tex3](x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)...[/tex3]
Vejamos um exemplo:
O número [tex3]360[/tex3] é decomposto em [tex3]2^3\cdot 3^2\cdot 5^1[/tex3] . Um divisor de 360 será algum número que contenha os fatores 2, 3 e 5 com as seguintes possibilidades de expoentes:
expoente do [tex3]2 \in \{0,1,2,3\}[/tex3]
expoente do [tex3]3 \in \{0,1,2\}[/tex3]
expoente do [tex3]5 \in \{0,1\}[/tex3]
Assim, um divisor será formado escolhendo um expoente do [tex3]2[/tex3] (dentre as 4 opções), um expoente do [tex3]3[/tex3] (dentre as 3 opções) e um expoente do [tex3]5[/tex3] (dentre as 2 opções). Pelo princípio fundamental da contagem teremos [tex3]4\cdot 3\cdot 2=24[/tex3] divisores inteiros, positivos e diferentes para o número [tex3]360[/tex3] .
Vou tentar demonstrar a forma de encontrar a quantidade de divisores naturais de um número natural.
Quando temos um número [tex3]X[/tex3] que pode ser decomposto em fatores primos:
[tex3]X=2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot 5^{x_3}\cdot 7^{x_4}\cdot 11^{x_5}\cdot 13^{x_6}\cdot\cdot\cdot[/tex3]
Devemos descobrir quais os números [tex3]Y[/tex3] que podem servir como divisor de [tex3]\frac{X}{Y}[/tex3] e retornar um quociente inteiro:
[tex3]\frac{2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot 5^{x_3}\cdot 7^{x_4}\cdot 11^{x_5}\cdot 13^{x_6}\cdot\cdot\cdot}{Y}[/tex3]
Agora, este número [tex3]Y[/tex3] só poderá ter, em sua decomposição em primos, os fatores que existirem em [tex3]X[/tex3] . Ou seja, vamos ver os dois decompostos em fatores primos:
[tex3]\frac{2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot 5^{x_3}\cdot 7^{x_4}\cdot 11^{x_5}\cdot 13^{x_6}\cdot\cdot\cdot}{2^{y_1}\cdot 3^{y_2}\cdot 5^{y_3}\cdot 7^{y_4}\cdot 11^{y_5}\cdot 13^{y_6}\cdot\cdot\cdot}[/tex3]
Para que a divisão seja inteira, o expoente y_1 só pode ser os valores
[tex3]y_1\in\{0,1,2,3,4,...,x_1\}[/tex3]
Idem para todos os outros expoentes. Ou seja, o expoente [tex3]y_1[/tex3] pode ser [tex3]x_1+1[/tex3] valores diferentes.
Pelo princípio fundamental da contagem, a quantidade de números diferentes que conseguiremos será o produto das quantidades de expoentes que conseguirmos para o denominador:
quantidade de divisores = [tex3](x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)...[/tex3]
Vejamos um exemplo:
O número [tex3]360[/tex3] é decomposto em [tex3]2^3\cdot 3^2\cdot 5^1[/tex3] . Um divisor de 360 será algum número que contenha os fatores 2, 3 e 5 com as seguintes possibilidades de expoentes:
expoente do [tex3]2 \in \{0,1,2,3\}[/tex3]
expoente do [tex3]3 \in \{0,1,2\}[/tex3]
expoente do [tex3]5 \in \{0,1\}[/tex3]
Assim, um divisor será formado escolhendo um expoente do [tex3]2[/tex3] (dentre as 4 opções), um expoente do [tex3]3[/tex3] (dentre as 3 opções) e um expoente do [tex3]5[/tex3] (dentre as 2 opções). Pelo princípio fundamental da contagem teremos [tex3]4\cdot 3\cdot 2=24[/tex3] divisores inteiros, positivos e diferentes para o número [tex3]360[/tex3] .
Editado pela última vez por caju em 17 Dez 2008, 21:57, em um total de 1 vez.
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