Ensino Médio ⇒ incírculo mixtilinear 2 Tópico resolvido

[geobson]

Dá pra provar um caso mais geral, onde T varia ao longo do arco AB(que não contém M). Provando as duas propriedades dá pra provar que I é incentro.
20210731_103939.jpg

Legal!
Tem a solução no livro?

[NigrumCibum]

geobson, não, o autor deixa como treino.

[FelipeMartin]

NigrumCibum, esse resultado prova o teorema de Sawayama. Fiz mais um livrinho pra provar esse e mais meia dúzia de lemas envolvendo círculos tangentes. A prova que [tex3]CLIT[/tex3]

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[tex3]CLIT[/tex3]

é cíclico é bem tranquila:

download/file.php?id=52866

Seja [tex3]E = TL \cap (ABC) \neq T[/tex3]

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[tex3]E = TL \cap (ABC) \neq T[/tex3]

, então [tex3]EM \parallel KL[/tex3]

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[tex3]EM \parallel KL[/tex3]

, de forma que:

[tex3]\angle CIL = \angle CME = \angle CTE = \angle CTL[/tex3]

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[tex3]\angle CIL = \angle CME = \angle CTE = \angle CTL[/tex3]

, logo [tex3]CLIT[/tex3]

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[tex3]CLIT[/tex3]

é cíclico.

A prova que [tex3]\triangle MKI \sim \triangle MIT[/tex3]

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[tex3]\triangle MKI \sim \triangle MIT[/tex3]

acho que é essa (fiz de outro jeito no livro):

[tex3]\angle MIT = 180^{\circ} - \angle CIT = 180^{\circ} - \angle CLT[/tex3]

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[tex3]\angle MIT = 180^{\circ} - \angle CIT = 180^{\circ} - \angle CLT[/tex3]

(pois [tex3]CLIT[/tex3]

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[tex3]CLIT[/tex3]

é cíclico)

[tex3]180^{\circ} - \angle CLT[/tex3]

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[tex3]180^{\circ} - \angle CLT[/tex3]

é um ângulo de segmento que enxerga o maior dos arcos [tex3]\widehat{LT}[/tex3]

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[tex3]\widehat{LT}[/tex3]

.

O [tex3]\angle MKL = \angle TKB + \angle LKD[/tex3]

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[tex3]\angle MKL = \angle TKB + \angle LKD[/tex3]

enxerga o mesmo arco.

[NigrumCibum]

FelipeMartin, isso mesmo.
A semelhança fica assim: [tex3]\angle LTK=\angle DLK=\angle DKL[/tex3]

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[tex3]\angle LTK=\angle DLK=\angle DKL[/tex3]

, e pelo critério de tangência [tex3]\angle CLT=\angle LKT=\angle CIT.[/tex3]

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[tex3]\angle CLT=\angle LKT=\angle CIT.[/tex3]

Então [tex3]\angle TIM=\angle MKI[/tex3]

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[tex3]\angle TIM=\angle MKI[/tex3]

o que implica que [tex3]\triangle MKI∽\triangle MIT[/tex3]

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[tex3]\triangle MKI∽\triangle MIT[/tex3]

, assim [tex3]MI^2=MB^2=MA^2\implies MI=MA=MB, [/tex3]

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[tex3]MI^2=MB^2=MA^2\implies MI=MA=MB, [/tex3]

, o que mostra que I é incentro do triângulo ABC.

[geobson]

Resumo visual da solução.
Problema 27 mencionado:viewtopic.php?t=75080

[geobson]

Demonstração :…………………………