[tex3]log_2(3^x+1) =x+1+2.4^x-6^x-2^x[/tex3]
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Resposta
B
IME / ITA ⇒ (FB) Equação Logarítmica
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careca
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Mai 2024
18
17:51
(FB) Equação Logarítmica
Determine quantos números inteiros existem tais que:
[tex3]log_2(3^x+1) =x+1+2.4^x-6^x-2^x[/tex3]
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
B
[tex3]log_2(3^x+1) =x+1+2.4^x-6^x-2^x[/tex3]
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
B
Editado pela última vez por careca em 18 Mai 2024, 18:25, em um total de 1 vez.
Por que você quer tanto isso? - Porque disseram que eu não conseguiria - Homens de Honra
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matbatrobin
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Jun 2024
02
03:21
Re: (FB) Equação Logarítmica
Se definirmos [tex3]f(x)=log_2(3^x+1)-x-1-2\cdot 4^x+6^x+2^x=log_2(3^x+1)+2^x(3^x-2^{x+1}+1)-x-1[/tex3]
, o problema é equivalente a encontrar raízes inteiras para [tex3]f[/tex3]
. É fácil notar que [tex3]f(0)=0=f(1)[/tex3]
.
Veja também que definindo [tex3]g(x)=3^x-2^{x+1}[/tex3] , temos [tex3]g(2)=3^2-2^{3}=9-8=1>0[/tex3] . Suponha que para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}^+[/tex3] tal que [tex3]n\geq 2[/tex3] tenhamos [tex3]g(n)>0[/tex3] , então [tex3]g(n+1)=3\cdot 3^n-2\cdot 2^{n+1}>2(3^n-2\cdot 2^{n+1})=2g(n)>0.[/tex3] Logo, provamos que [tex3]g[/tex3] é positiva e estritamente crescente em [tex3]\{n\in \mathbb{Z}:n>1\}[/tex3] .
Como [tex3]f(n)=log_2(3^n+1)+2^n(g(n)+1)-n-1[/tex3] e [tex3]f(2)=log_2(10)+4(g(2)+1)-2-1=log_2(10)-3>log_2(8)-3=0[/tex3] é imediato do resultado acima que [tex3]f[/tex3] também é positiva e estritamente crescente em [tex3]\{n\in \mathbb{Z}:n>1\}[/tex3] já que teremos [tex3]f(n)=log_2(3^n+1)+2^ng(n)+2^n-(n+1)[/tex3] e [tex3]2^ng(n)+2^n[/tex3] cresce mais rápido que [tex3]n+1[/tex3] para [tex3]n\geq 2[/tex3] . Logo não há nenhum número inteiro maior que [tex3]1[/tex3] que seja raiz.
Entre os inteiros negativos, vemos que [tex3]f(-1)=log_2(4/3)+\frac{1}{2}(1/3-1+1)-1-1=(2-log_23)+1/6-2=1/6-log_23<1/6-1=-5/6<0[/tex3] . Sabemos que [tex3]3^n>2^{n+1}\;\forall n>1\Longleftrightarrow 1/3^n=3^n<2^{n+1}=1/2^{n+1}\;\forall n<-1[/tex3] . Temos também que se [tex3]n=-2[/tex3] fica [tex3]2^{-2}g(-2)=-1/288<0[/tex3] . Logo, [tex3]\forall n<-1[/tex3] , temos [tex3]f(n)<log_2(3^n)+2^n-n-1<log_2(4^n)+2^n-n-1=2^{n+1}-n-1<0[/tex3] . Portanto, [tex3]f[/tex3] é negativa em [tex3]\{n\in \mathbb{Z}:n<-1\}[/tex3] e tem apenas [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] como raízes inteiras. Resposta: B.
Veja também que definindo [tex3]g(x)=3^x-2^{x+1}[/tex3] , temos [tex3]g(2)=3^2-2^{3}=9-8=1>0[/tex3] . Suponha que para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}^+[/tex3] tal que [tex3]n\geq 2[/tex3] tenhamos [tex3]g(n)>0[/tex3] , então [tex3]g(n+1)=3\cdot 3^n-2\cdot 2^{n+1}>2(3^n-2\cdot 2^{n+1})=2g(n)>0.[/tex3] Logo, provamos que [tex3]g[/tex3] é positiva e estritamente crescente em [tex3]\{n\in \mathbb{Z}:n>1\}[/tex3] .
Como [tex3]f(n)=log_2(3^n+1)+2^n(g(n)+1)-n-1[/tex3] e [tex3]f(2)=log_2(10)+4(g(2)+1)-2-1=log_2(10)-3>log_2(8)-3=0[/tex3] é imediato do resultado acima que [tex3]f[/tex3] também é positiva e estritamente crescente em [tex3]\{n\in \mathbb{Z}:n>1\}[/tex3] já que teremos [tex3]f(n)=log_2(3^n+1)+2^ng(n)+2^n-(n+1)[/tex3] e [tex3]2^ng(n)+2^n[/tex3] cresce mais rápido que [tex3]n+1[/tex3] para [tex3]n\geq 2[/tex3] . Logo não há nenhum número inteiro maior que [tex3]1[/tex3] que seja raiz.
Entre os inteiros negativos, vemos que [tex3]f(-1)=log_2(4/3)+\frac{1}{2}(1/3-1+1)-1-1=(2-log_23)+1/6-2=1/6-log_23<1/6-1=-5/6<0[/tex3] . Sabemos que [tex3]3^n>2^{n+1}\;\forall n>1\Longleftrightarrow 1/3^n=3^n<2^{n+1}=1/2^{n+1}\;\forall n<-1[/tex3] . Temos também que se [tex3]n=-2[/tex3] fica [tex3]2^{-2}g(-2)=-1/288<0[/tex3] . Logo, [tex3]\forall n<-1[/tex3] , temos [tex3]f(n)<log_2(3^n)+2^n-n-1<log_2(4^n)+2^n-n-1=2^{n+1}-n-1<0[/tex3] . Portanto, [tex3]f[/tex3] é negativa em [tex3]\{n\in \mathbb{Z}:n<-1\}[/tex3] e tem apenas [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] como raízes inteiras. Resposta: B.
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