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Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Última mensagem por geobson « 26 Jun 2023, 15:44
Respostas: 6
por FelipeMartin » 08 Mai 2021, 21:55

Primeira Postagem

Dado o \triangle ABC ; seja O o seu incentro, sejam D,E e F os pontos de contato de seu incírculo com os lados BC, AC e AB respectivamente, seja G o pé da altura de B em relação à bissetriz interna...

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Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.

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Última mensagem por geobson
26 Jun 2023, 15:44
Demonstração - Desigualdade MA-MG via Termodinâmica

Última mensagem por παθμ « 15 Mai 2023, 19:41

por παθμ » 15 Mai 2023, 19:41

Considere um conjunto de n corpos, com o i-ésimo corpo tendo uma temperatura inicial T_i . Todos os corpos possuem a mesma capacidade térmica C e eles constituem um sistema fechado.

Os corpos,...

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Última mensagem por παθμ
15 Mai 2023, 19:41
Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato

Última mensagem por FelipeMartin « 30 Abr 2023, 15:03
Respostas: 3
por Auto Excluído (ID:12031) » 26 Jun 2019, 23:34

Primeira Postagem

Sejam as circunferências c , centrada no ponto B e de raio r_c>0 , e d , centrada no ponto C e de raio r_d>0 , tangentes entre si em um ponto A (a definição usada é que as curvas são tangentes se, e...

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fizeram um artigo maravilhoso sobre esse tema aqui na wiki das olimpíadas, recomendo a todos que quiserem entender um pouco mais da homotetia, ficou bem completinho.

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Última mensagem por FelipeMartin
30 Abr 2023, 15:03
Coordenadas Baricêntricas - formulário

Última mensagem por FelipeMartin « 13 Set 2022, 22:27
Respostas: 1
por FelipeMartin » 12 Set 2022, 23:40

Primeira Postagem

Dado um triângulo \triangle ABC fixo no plano, pode-se estabelecer um exótico sistema de coordenadas no plano a partir dele.

1-) Seja O um ponto qualquer do plano, as coordenadas baricêntricas de um...

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Mais umas coisinhas. Deste link .

1-) Produto escalar entre dois vetores:

Dados os vetores \vec v = (x_1:y_1:z_1) e \vec{ w} = (x_2:y_2:z_2) . Então, o produto escalar entre eles é:

\vec v \cdot...

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Última mensagem por FelipeMartin
13 Set 2022, 22:27
Demonstração - Teorema de Pascal

Última mensagem por FelipeMartin « 06 Set 2022, 13:50
Respostas: 1
por FelipeMartin » 18 Out 2020, 11:04

Primeira Postagem

Dado um hexágono ABCDEF inscrito em um círculo \gamma sejam: X = AB \cap DE, Y = BC \cap EF e Z = CD \cap FA então X,Y e Z são colineares/alinhados.

Prova:
- \angle ADC = \angle AFC por serem...

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errata:
na parte, bem no começo, que o Teorema de Ceva Trigonométrico nos garante que \angle AZX = \angle CZY e

na verdade a igualdade é \angle AZX = \angle FZY

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Última mensagem por FelipeMartin
06 Set 2022, 13:50
Lema de Arquimedes - Demonstração

Última mensagem por FelipeMartin « 03 Fev 2022, 09:51

por FelipeMartin » 03 Fev 2022, 09:51

Seja \gamma um semicírculo de diâmetro AB . Seja C um ponto na tangente a \gamma por B , seja CD tangente a \gamma por C , com D \in \gamma , seja E o pé da altura de D em relação a AB e F = AC \cap...

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Última mensagem por FelipeMartin
03 Fev 2022, 09:51
Definição de conjugados isogonais

Última mensagem por FelipeMartin « 03 Fev 2022, 07:42
Respostas: 2
por FelipeMartin » 18 Out 2020, 07:17

Primeira Postagem

Dado um triângulo \triangle ABC e, em seu interior, um ponto X podemos marcar os ângulos que as retas AX,BX e CX fazem com os lados do triângulo \triangle ABC :

\alpha = \angle BAX, \beta =...

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Uma prova mais geométrica da existência dos conjugados isogonais é a seguinte:

Seja P um ponto qualquer no interior do \angle BAC (possivelmente fora do \triangle ABC ). Seja \ell =...

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Última mensagem por FelipeMartin
03 Fev 2022, 07:42
Número de soluções inteiras positivas de uma equação linear

Última mensagem por Deleted User 23699 « 23 Nov 2021, 09:34
Respostas: 1
por csmarcelo » 02 Set 2019, 09:41

Primeira Postagem

Há um tempo atrás, nosso colega MateusQqMD demonstrou que o número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear é dado por P_{ \, m + k -1}^{ \, m, \,\, k-1} .

Aqui, irei demonstrar...

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Outro raciocínio:
x1 + ... + xp = n
posso escrever n como uma soma de vários 1
1 + 1 + 1 ... + 1
são n-1 sinais de +
mas x1 + ... + xp tem p-1 sinais de +
então tenho que escolher p-1 sinais de +...

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Última mensagem por Deleted User 23699
23 Nov 2021, 09:34
Demonstração - Parameshvara

Última mensagem por Deleted User 23699 « 18 Nov 2021, 14:37
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 10 Jun 2020, 09:34

Primeira Postagem

Demonstração da fórmula de Parameshvara, que estabelece:

Seja ABCD um quadrilátero inscritível, onde AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = p e BD = q. O raio da circunferência circunscrita ao...

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OBS: A simples aplicação dessa fórmula levava ao resultado da questão 1 da segunda fase do ITA 2021.
A questão tem como enunciado:
Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio...

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Última mensagem por Deleted User 23699
18 Nov 2021, 14:37
Pontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo

Última mensagem por FelipeMartin « 09 Nov 2021, 20:58
Respostas: 1
por Marcos » 21 Jul 2012, 21:30

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Última mensagem por FelipeMartin
09 Nov 2021, 20:58
Prova do teorema de Dergiades

Última mensagem por FelipeMartin « 15 Jun 2021, 02:55

por FelipeMartin » 15 Jun 2021, 02:55

São dados:

- Um triângulo \triangle ABC
- Círculos c_1,c_2 e c_3 , tais que \{B,C\} \subset c_1, \{A,C\} \subset c_2 e \{A,B\} \subset c_3
- D,E e F são as segundas intersecções de c_2 \cap c_3,...

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Última mensagem por FelipeMartin
15 Jun 2021, 02:55
Demonstração teorema dos 6 círculos

Última mensagem por FelipeMartin « 07 Jun 2021, 08:30

por FelipeMartin » 07 Jun 2021, 08:30

Dado o quadrilátero cíclico ABCD . Sejam c_1,c_2,c_3 e c_4 os círculos de diâmetro AB,BC,CD e DA respectivamente e sejam I,J,K e L os encontros destes 4 círculos com as diagonais AC e BD , conforme a...

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Última mensagem por FelipeMartin
07 Jun 2021, 08:30
Demonstração - teorema das antiparalelas

Última mensagem por FelipeMartin « 05 Mai 2021, 19:39

por FelipeMartin » 05 Mai 2021, 19:39

pelo teorema de Tales:

\frac{DA}{DB} = \frac ba

por semelhança:

\frac{DE}{DA} = \frac xb

Potência do ponto D :

DE^2 = DA \cdot DB \implies \frac{x^2}{b^2} DA^2 = DA \cdot \frac ab DA \iff...

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1575 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
05 Mai 2021, 19:39
Demonstração - Fórmula de Bretschneider

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 17:38
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 06 Abr 2021, 09:42

Primeira Postagem

Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria, álgebra e uma pequena parte da demonstração da fórmula de Brahmagupta, como forma de encurtar nosso...

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Titu Andreescu - Números complexos de A a Z, pág 225, problema 23
Prove que em qualquer quadrilátero ABCD,
AC^2.BD^2=AB^2.CD^2+AD^2.BC^2-2AB.BC.CD.DA.cos(A+C)
(Relação de Bretschneider ou primeira...

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2159 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 17:38
(Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 08:38
Respostas: 1
por jvmago » 06 Jun 2020, 14:48

Primeira Postagem

Seja ABC um triangulo de lados AB=c,BC=a,AC=b vamos traçar as medianas AM ,CN , e as bissetrizes CL,AK com isso determinamos que IG=x ONDE G é o baricentro e I o incentro

AGORA VAMOS COMEÇAR DE FATO...

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Demonstração por complexos/analítica usando coordenadas baricêntricas:

Teorema: Os pontos A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 estão situados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC tais que as retas...

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Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 08:38
(Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 08:23
Respostas: 1
por jvmago » 06 Jun 2020, 16:39

Primeira Postagem

Esboçe um \Delta ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, O o circuncentro, AB=c,AC=b,BC=a e H o ortocentro PARTIU!!

PEDS-SE OH=x

Trace as...

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Demonstração por complexos/analítica

Sejam três pontos A(a), B(b), C(c) não colineares
Assumindo que o circuncentro O é a origem do plano complexo, a coordenada de H é Z_h=a+b+c
Usando o produto...

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2578 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 08:23
(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 08:10
Respostas: 1
por jvmago » 06 Jun 2020, 13:38

Primeira Postagem

Esboçe um triangulo ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, I seja seu incentro, O o circuncentro, D o ponto de tangencia, em BC , da...

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Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:

Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC...

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2273 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 08:10
Demonstração - Fórmula de Brahmagupta

Última mensagem por iammaribrg « 06 Abr 2021, 09:46
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 06 Abr 2021, 09:21

Primeira Postagem

Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um quadrilátero inscritível (aquele que pode ser inscrito...

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Zhadnyy legal! Valiosíssimo pra ITA/IME, creio eu

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2132 Exibições

Última mensagem por iammaribrg
06 Abr 2021, 09:46
Demonstração - Fórmula de Heron

Última mensagem por Deleted User 23699 « 06 Abr 2021, 08:59

por Deleted User 23699 » 06 Abr 2021, 08:59

Demonstração rápida, publicada no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria básica e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um triângulo qualquer pode ser obtida...

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1579 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
06 Abr 2021, 08:59
Demonstração - Reta de Newton

Última mensagem por Deleted User 23699 « 26 Mar 2021, 20:29

por Deleted User 23699 » 26 Mar 2021, 20:29

Seja ABCD um quadrilátero tal que BA e CD intersectam-se em E, AD e BC intersectam-se em F e sejam N, L e M os pontos médios de EF, AC e BD, respectivamente.
Os pontos N, L e M são colineares e...

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Última mensagem por Deleted User 23699
26 Mar 2021, 20:29
(Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Última mensagem por Renadeca « 25 Mar 2021, 14:37
Respostas: 5
por jvmago » 21 Jun 2020, 15:28

Primeira Postagem

É chegado o momento de fazer geometria! Espero com esse post sanar a duvida de muitos curiosos sobre o assunto, feito isso PARTIU!

Sejam A (a), B (b) e C (c) três círculos tangentes externos, dois a...

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Boa tarde, valeu gentee...

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3469 Exibições

Última mensagem por Renadeca
25 Mar 2021, 14:37
Técnica olímpica - Lifting the exponent (LTE)

Última mensagem por Ittalo25 « 12 Jan 2021, 22:23
Respostas: 1
por Ittalo25 » 12 Jan 2021, 22:15

Primeira Postagem

Definição: Seja p um número primo. Se e_p(a)=k , então p^k \mid a mas p^{k+1} \nmid a . Ou seja, k é a maior potência de p que divide a.

Propriedade 1: Se p é primo ímpar, p \nmid a , p \nmid b ,...

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Babi123 , null

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Última mensagem por Ittalo25
12 Jan 2021, 22:23
(Demonstração) Relações entre elementos em um triângulo qualquer

Última mensagem por jvmago « 25 Dez 2020, 14:26
Respostas: 1
por jvmago » 25 Dez 2020, 14:20

Primeira Postagem

Bom senhores a muito tempo eu desejo e digo que iria fazer esse tópico porém eu precisa fazer algo bem consistente, com coisas simples e outras nem tanto assim :lol: . As propriedades que aparecerão...

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Como de costume, PIMBADA :wink:

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Última mensagem por jvmago
25 Dez 2020, 14:26
Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo

Última mensagem por FelipeMartin « 25 Dez 2020, 09:25
Respostas: 1
por MatheusBorges » 30 Jul 2018, 14:56

Primeira Postagem

Demonstre que em todo triângulo, vale a seguinte relação:
ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr , sendo a, b e c os lados do triângulo, r o raio da circunferência inscrita, R o raio da circunscrita e p o...

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aliás esse tópico poderia estar nas demonstrações, não?

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2467 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
25 Dez 2020, 09:25
(Demonstração) Generalização de áreas em um triângulo qualquer

Última mensagem por jvmago « 06 Dez 2020, 21:01

por jvmago » 06 Dez 2020, 21:01

Esse Teorema acabará de uma vez por todas com todo e qualquer Problema nessa construção!

Sejam a,b,c,d as áreas dos triângulos AMP, APC, PNC e do quadrilátero BMPN respectivamente ficará verificado...

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1598 Exibições

Última mensagem por jvmago
06 Dez 2020, 21:01
(Demonstração) Teorema do Excentro

Última mensagem por jvmago « 06 Dez 2020, 20:37

por jvmago » 06 Dez 2020, 20:37

Este será mais um dos tópicos onde eu busco salientar e compartilhar com o mundo minhas pesquisas sobre relações geométricas que generalizam e facilitam problemas.

A seguinte demonstração será de...

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Última mensagem por jvmago
06 Dez 2020, 20:37
Razão anarmônica na reta (cross-ratio) 1

Última mensagem por Ittalo25 « 25 Out 2020, 01:59
Respostas: 1
por Auto Excluído (ID:12031) » 16 Jan 2019, 03:22

Primeira Postagem

Eu não podia deixar de fazer esses últimos dois tópicos depois de ter começado os outros, desculpem qualquer coisa.
Começamos definindo segmentos orientados, atribuímos um sinal ao segmento...

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Aqui uma questão bem interessante sobre razão anarmônica (cross-ratio)

Olympiad Geometry Problem #12: Isosceles Triangle, Angle Bisector, Midpoint

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Última mensagem por Ittalo25
25 Out 2020, 01:59
Demostração - Teorema de Schur para polinômios em Z[x]

Última mensagem por Deleted User 24633 « 04 Set 2020, 00:08

por Deleted User 24633 » 04 Set 2020, 00:08

Seja P um polinômio com coeficientes inteiros não constante. Então o conjunto S de primos que divide pelo menos um elemento não nulo do conjunto \{ P(t): t \in \mathbb{Z} \} é infinito.

Demostração...

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Última mensagem por Deleted User 24633
04 Set 2020, 00:08
Técnica olímpica - Teorema de Wilson estendido

Última mensagem por Ittalo25 « 03 Set 2020, 20:19

por Ittalo25 » 03 Set 2020, 20:19

É um fato bem conhecido que se p é primo então: (p-1)! \equiv -1 \mod(p) , mas algo pouco comentado é que se n é composto e diferente de 4, então (n-1)! \equiv 0 \mod(n) . Primeiro vamos a conceitos...

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Última mensagem por Ittalo25
03 Set 2020, 20:19
Técnica olímpica - Lema da ceviana qualquer

Última mensagem por Ittalo25 « 03 Set 2020, 19:12

por Ittalo25 » 03 Set 2020, 19:12

Depois de 3 anos vai mais um tópico desses, como o tempo passa rápido :D
Aceito sugestões por mensagem privada.

Seja ABC um triângulo qualquer e a ceviana AP com P em BC, então vale que:...

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Última mensagem por Ittalo25
03 Set 2020, 19:12

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