Determine as soluções inteiras e positivas da equação:

(x+1)\cdot (y+2)=2xy.

Sejam a, b, c números positivos, tais que a+b+c=1 .

Mostre que

\left(\frac 1a -1\right)\cdot\left(\frac 1b-1\right)\cdot\left(\frac 1c-1\right)\ge 8

Nota: Pode-se utilizar o seguinte fato, para...

Um grupo de amigos disputa um jogo que consiste em mover sucessivamente a carta superior de uma pilha e colocá-la sobre outra pilha, até obter 4 novas pilhas que são da forma: na Pilha 1 só tem Áses,...

Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. O menor valor possível para a diferença entre...

Em um jogo existem 20 buracos vazios em fila e o jogador deve colocar um pino em cada buraco de acordo com as seguintes regras:

a) Se colocar um pino em um buraco e se os dois buracos vizinhos...

Determine o valor da expressão:

f\left(\frac{1}{2000}\right) + f\left(\frac{2}{2000}\right) +\ldots + f\left(\frac{1999}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{2000}\right) +...

(XIV Cone Sul) No triângulo acutângulo ABC, os pontos H, G e M encontram-se sobre o lado BC, de modo que AH, AG e AM são altura, bissetriz e mediana do triângulo, respectivamente. Sabe-se que HG =...

O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num dos seus escritos que todos os filhos do emir eram...