Pois é! … também estranhei , mas em se tratando desses livros, pode ser erro RN=NO.
Ensino Fundamental ⇒ Triângulo
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geobson
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Mai 2024
15
14:44
Re: Triângulo
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jvmago
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Mai 2024
20
23:42
Re: Triângulo
Eu fiquei raciocinando o problema por um tempo e cheguei a solução porém foi de forma "carteada" provavelmente existe outra informação que quando juntamos com a do "arco é 90°" provamos que o triângulo é retângulo
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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jvmago
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Mai 2024
20
23:44
Re: Triângulo
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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jvmago
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Mai 2024
21
00:24
Re: Triângulo
A questão é bem difícil, principalmente se não soubermos o teorema que o mestre geobson apresentou! Prometo que busquei enxugar ao máximo as contas e também tentei de várias formas encaixar a relação do 90° mas não consegui então vou mostrar a solução SUPONDO QUE O TRIÂNGULO SEJA RETÂNGULO
Usaremos como base a figura da foto, depois eu ajusto para o do enunciado original. CONSIDERAÇÕES FEITAS, VAMOS FAZER GEOMETRIA COMO TEM QUE SER FEITA, GENERALIZADA
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] retângulo em A tal que M e N sejam os pontos médios dos arcos AB e AC
Tracemos BN e CM, por propriedade o ponto que essas retas se encontram I é o incentro do triângulo [tex3] \Delta ABC[/tex3]
Da conclusão anterior traçando IH perpendicular a BC temos que [tex3]IH=r[/tex3] que é o nosso problema
Pelo enunciado traçamos [tex3]MP=a[/tex3] e [tex3]NQ=b[/tex3]
Observando o [tex3]\Delta PCM [/tex3] pelo teorema da bissetriz podemos traçar a reta [tex3]ME=a[/tex3] e esta será perpendicular ao diâmetro [tex3]BC[/tex3]
De maneira análoga no [tex3]\Delta NBQ[/tex3]
[tex3]ND=NQ=b[/tex3]
A partir daqui a experiência é quem vai ditar as coisas!
Seja [tex3]O[/tex3] o centro da circunferência, tracemos [tex3]OM=ON=R[/tex3]
Como [tex3]M,N[/tex3] são pontos médios dos arcos então [tex3]OM,ON[/tex3] são mediatrizes
Da conclusão anterior fica fácil ver que o ângulo [tex3]MoN=90[/tex3]
Agora começam os pulos do gato!
Observando os [tex3]\Delta MOE[/tex3] e [tex3]\Delta NOD[/tex3] vemos que estes são congruentes pelo caso ALA portanto [tex3]OD=a[/tex3] e [tex3]EO=b[/tex3]
No [tex3]\Delta OND[/tex3] tiramos por tio Pit
[tex3]R²=a²+b²[/tex3]
Aqui morreu toda a parte de geometria plana, vamos para as contas!
Observemos o [tex3]\Delta IBC[/tex3] e nas suas bases chamaremos os ângulos de [tex3]\theta,\lambda[/tex3]
Pela figura e pelo fato das bissetrizes fica fácil verificar [tex3]\lambda=45-\theta[/tex3]
Utilizando da trigonometria nos [tex3]\Delta IBH[/tex3] e [tex3]\Delta ICH[/tex3] temos
[tex3]r(cot(\theta)+cot(\lambda))=BC=2R[/tex3]
[tex3]r(cot\theta+cot(45-\theta))=2R[/tex3] . RESULTADO BEM LEGAL
BASTA AGORA ENCONTRAR [tex3]\theta[/tex3]
Olhemos o [tex3]\Delta MBE[/tex3] donde tiramos
[tex3]\frac{BE}{a}=cot(2\theta+\lambda)[/tex3] mas [tex3]BE=R-b[/tex3] e já temos o valor de [tex3]R[/tex3] portanto
[tex3]\frac{R-b}{a}=cot(2\theta+45-\theta)=cot(45+\theta)[/tex3]
Usando da trigonometria e álgebra vamos chegar em
[tex3]tg\theta=\frac{a+b-R}{a-b+R}[/tex3]
(ah mas vamos ter que por tudo isso lá em cima? Sim
)
Substituindo essa trozoba lá na equação do diâmetro temos
[tex3]r(\frac{1}{tg\theta}+\frac{1+tg\theta}{1-tg\theta})=2R[/tex3] ( JA SABEM NÉ? )
[tex3]r(\frac{1}{\frac{a+b-R}{a-b+R} }+\frac{1+\frac{a+b-R}{a-b+R}}{1-\frac{a+b-R}{a-b+R}})=2R[/tex3]
Simplificando isso tudo chegaremos em
[tex3]\frac{r(R²-2bR+(a²+b²))}{(R-b)(a+b-R)}=2R[/tex3]
Mas [tex3]R²=a²+b²[/tex3]
[tex3]\frac{r(2R²-2bR)}{(R-b)(a+b-R)}=2R[/tex3] colocando em evidência
[tex3]\frac{r*2R(R-b)}{(R-b)(a+b-R)}=2R[/tex3] ALO VOCÊ
[tex3]r=a+b-R[/tex3] tal que
[tex3]r=a+b-\sqrt{a²+b²}[/tex3]
Para [tex3]a=5[/tex3] e [tex3]b=12[/tex3]
[tex3]r=5+12-13=4[/tex3]
Clave C
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Usaremos como base a figura da foto, depois eu ajusto para o do enunciado original. CONSIDERAÇÕES FEITAS, VAMOS FAZER GEOMETRIA COMO TEM QUE SER FEITA, GENERALIZADA
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] retângulo em A tal que M e N sejam os pontos médios dos arcos AB e AC
Tracemos BN e CM, por propriedade o ponto que essas retas se encontram I é o incentro do triângulo [tex3] \Delta ABC[/tex3]
Da conclusão anterior traçando IH perpendicular a BC temos que [tex3]IH=r[/tex3] que é o nosso problema
Pelo enunciado traçamos [tex3]MP=a[/tex3] e [tex3]NQ=b[/tex3]
Observando o [tex3]\Delta PCM [/tex3] pelo teorema da bissetriz podemos traçar a reta [tex3]ME=a[/tex3] e esta será perpendicular ao diâmetro [tex3]BC[/tex3]
De maneira análoga no [tex3]\Delta NBQ[/tex3]
[tex3]ND=NQ=b[/tex3]
A partir daqui a experiência é quem vai ditar as coisas!
Seja [tex3]O[/tex3] o centro da circunferência, tracemos [tex3]OM=ON=R[/tex3]
Como [tex3]M,N[/tex3] são pontos médios dos arcos então [tex3]OM,ON[/tex3] são mediatrizes
Da conclusão anterior fica fácil ver que o ângulo [tex3]MoN=90[/tex3]
Agora começam os pulos do gato!
Observando os [tex3]\Delta MOE[/tex3] e [tex3]\Delta NOD[/tex3] vemos que estes são congruentes pelo caso ALA portanto [tex3]OD=a[/tex3] e [tex3]EO=b[/tex3]
No [tex3]\Delta OND[/tex3] tiramos por tio Pit
[tex3]R²=a²+b²[/tex3]
Aqui morreu toda a parte de geometria plana, vamos para as contas!
Observemos o [tex3]\Delta IBC[/tex3] e nas suas bases chamaremos os ângulos de [tex3]\theta,\lambda[/tex3]
Pela figura e pelo fato das bissetrizes fica fácil verificar [tex3]\lambda=45-\theta[/tex3]
Utilizando da trigonometria nos [tex3]\Delta IBH[/tex3] e [tex3]\Delta ICH[/tex3] temos
[tex3]r(cot(\theta)+cot(\lambda))=BC=2R[/tex3]
[tex3]r(cot\theta+cot(45-\theta))=2R[/tex3] . RESULTADO BEM LEGAL
BASTA AGORA ENCONTRAR [tex3]\theta[/tex3]
Olhemos o [tex3]\Delta MBE[/tex3] donde tiramos
[tex3]\frac{BE}{a}=cot(2\theta+\lambda)[/tex3] mas [tex3]BE=R-b[/tex3] e já temos o valor de [tex3]R[/tex3] portanto
[tex3]\frac{R-b}{a}=cot(2\theta+45-\theta)=cot(45+\theta)[/tex3]
Usando da trigonometria e álgebra vamos chegar em
[tex3]tg\theta=\frac{a+b-R}{a-b+R}[/tex3]
(ah mas vamos ter que por tudo isso lá em cima? Sim
)Substituindo essa trozoba lá na equação do diâmetro temos
[tex3]r(\frac{1}{tg\theta}+\frac{1+tg\theta}{1-tg\theta})=2R[/tex3] ( JA SABEM NÉ?
)[tex3]r(\frac{1}{\frac{a+b-R}{a-b+R} }+\frac{1+\frac{a+b-R}{a-b+R}}{1-\frac{a+b-R}{a-b+R}})=2R[/tex3]
Simplificando isso tudo chegaremos em
[tex3]\frac{r(R²-2bR+(a²+b²))}{(R-b)(a+b-R)}=2R[/tex3]
Mas [tex3]R²=a²+b²[/tex3]
[tex3]\frac{r(2R²-2bR)}{(R-b)(a+b-R)}=2R[/tex3] colocando em evidência
[tex3]\frac{r*2R(R-b)}{(R-b)(a+b-R)}=2R[/tex3] ALO VOCÊ
[tex3]r=a+b-R[/tex3] tal que
[tex3]r=a+b-\sqrt{a²+b²}[/tex3]
Para [tex3]a=5[/tex3] e [tex3]b=12[/tex3]
[tex3]r=5+12-13=4[/tex3]
Clave C
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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petras
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Mai 2024
21
16:23
Re: Triângulo
jvmago, geobson,
Segue figura em escala com a resolução do mago..Realmente BC seria diâmetro.O mesmo acontece com a corda AM
Uma solução mais simples:
QN divide a corda AC em 2 segmentos iguais portanto AC = 24
O mesmo acontece com a corda AM que divide AB e portanto AB = 10
[tex3]IM =r: \implies 2r +a = b+c \implies r = \frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c-\sqrt{b^2+c^2}
}{2}\\
\therefore r=\frac{AC+AB-\sqrt{AB^2+AC^2}}{2} = =\frac{2a+2b-\sqrt{(2a)^2+(2b)^2}}{2} = \frac{10+24-\sqrt{10^2+24^2}}{2}\\
\boxed{r = \frac{34-26}{2 }=4}
[/tex3]
Segue figura em escala com a resolução do mago..Realmente BC seria diâmetro.O mesmo acontece com a corda AM
Uma solução mais simples:
QN divide a corda AC em 2 segmentos iguais portanto AC = 24
O mesmo acontece com a corda AM que divide AB e portanto AB = 10
[tex3]IM =r: \implies 2r +a = b+c \implies r = \frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c-\sqrt{b^2+c^2}
}{2}\\
\therefore r=\frac{AC+AB-\sqrt{AB^2+AC^2}}{2} = =\frac{2a+2b-\sqrt{(2a)^2+(2b)^2}}{2} = \frac{10+24-\sqrt{10^2+24^2}}{2}\\
\boxed{r = \frac{34-26}{2 }=4}
[/tex3]
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Editado pela última vez por petras em 22 Mai 2024, 10:10, em um total de 1 vez.
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