(IME) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação
Para tal demonstração, devemos restruturar a equação. Veja a seguir:
Veja que não houve modificação numérica, apenas uma mudança estética para podermos utilizar algumas ferramentas. O co-seno ao cubo foi separado em uma multiplicação de um linear por um quadrado e multiplicamos os dois lados da igualdade, duas vezes, por 2. Vamos nos atentar para os fatores grifados abaixo:
Aplicando a fórmula de prostaférese nos fatores grifados acima, teremos:
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PROSTAFÉRESE I |
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sen(X + Y) + sen(X – Y) = 2 . sen(X) . cos(Y) A demonstração é simples. Aplique a fórmula do seno da soma de arcos e verifique a expressão 🙂 |
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CO-SENO DO ARCO DUPLO |
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cos(2X) = cos2(X) – sen2(X) cos(2X) = 2cos2(X) – 1 2cos2(X) = cos(2X) + 1 |
Dá para cortar a parcela sen[(A+B)/2] e colocar em evidência os fatores que possuem sen[(A+B)/2] e sen[(A-B)/2].
Podemos aplicar, novamente, as fórmulas de prostaférese na soma e na subtração de co-senos acima.
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PROSTAFÉRESE II |
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Podemos cortar os fatores 2 que estão multiplicando todas as parcelas. Mas devemos ter uma atenção redobrada neste momento. Note que há também um fator sen[(A-B)/2] que também está presente em todas as parcelas. Mas este nós não podemos cortar, pois poderíamos estar cometendo o erro de dividir por ZERO, que é algo que não existe. Portanto, vamos apenas colocar este fatore em evidência.
Esta é a equação que vai finalizar o problema. Veja que temos uma multiplicação de dois fatores resultando ZERO. Isto só irá ocorrer quando, necessariamente, um dos fatores for ZERO. Vamos igualar o primeiro a ZERO.
Como queríamos demonstrar. Já que o exercício não pede para provar a unicidade desta solução, podemos dar como terminada a resolução. Se você quiser, iguale também o segundo fator a zero e veja o que acontece.