Trigonometria

Na expressão abaixo,

[tex3]4\cdot[\sen^3(x)-\cos^3(x)]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

com 0<x<2π qual(is) o(s) valor(es) de “x”?


Para iniciar a questão, vamos fazer uma coisa comum em questões de trigonometria que envolvam as funções trigonométricas elevadas ao cubo. Vamos “separar” os valores que estiverem ao cubo em uma multiplicação de dois valores. Veja abaixo:

[tex3]4\cdot[[/tex3][tex3]\color{blue}\sen^3(x)[/tex3][tex3]\color{red}-\cos^3(x)[/tex3][tex3]]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Separando:

[tex3]4\cdot[[/tex3][tex3]\color{blue}+\sen^2(x)\cdot\sen(x)[/tex3][tex3]\color{red}-\cos^2(x)\cdot\cos(x)[/tex3][tex3]]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Agora, lembrando da equivalência fundamental da trigonometria:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

[tex3]\Large\sen^2(X)+\cos^2(X)=1[/tex3]
[tex3]\sen^2(X)=1-\cos^2(X)[/tex3] [tex3]\cos^2(X)=1-\sen^2(X)[/tex3]

Efetuando a substituição destas equivalências na equação do exercício:

[tex3]4\cdot[[/tex3][tex3]\color{blue}+1-\cos^2(x)]\cdot\sen(x)[/tex3][tex3]\color{red}-[1-\sen^2(x)]\cdot\cos(x)[/tex3][tex3]]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Efetuando algumas multiplicações:

[tex3]4\cdot[sin(x)-[/tex3][tex3]\Large\cos^2(x)\cdot\sen(x)[/tex3][tex3]-\cos(x)+[/tex3][tex3]\Large\sen^2(x)\cdot\cos(x)[/tex3][tex3]]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Note, que, os termos grifados na equação acima, possuem o fator [sen(x).cos(x)] em comum, ou seja, podemos colocá-lo em evidência. Para isso, vamos reorganizar as parcelas:

[tex3]4\cdot[sin(x)-\cos(x)+[/tex3][tex3]\Large-\cos^2(x)\cdot\sen(x)+\sen^2(x)\cdot\cos(x)[/tex3][tex3]]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

E agora, colocando em evidência o fator [sen(x).cos(x)], temos:

[tex3]4\cdot\{\sen(x)-cos(x)+\sen(x)\cdot\cos(x)\cdot[\sen(x)-\cos(x)]\}=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Note, que, na parte esquerda da equação, podemos dizer que temos duas parcelas (indicadas abaixo com cores diferentes):

[tex3]4\cdot[/tex3][tex3]\{\color{blue}+\sen(x)-\cos(x)[/tex3][tex3]\color{blue}+\sen(x)\cos(x)\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3][tex3]\}5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Estas duas parcelas possuem o fator [tex3][\sen(x)-\cos(x)][/tex3] em comum, ou seja, podemos colocá-lo em evidência:

[tex3]4\cdot[\sen(x)-\cos(x)]\cdot[1+\sen(x)\cdot\cos(x)]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Veja, agora, que o fator [tex3][\sen(x)-\cos(x)][/tex3] pode ser cortado de ambos os lados da igualdade.

Neste momento devemos ter um cuidado imenso. Ao cortar dos dois lados da igualdade, estamos, na verdade, dividindo os dois lados pelo mesmo valor, ou seja, por [tex3][\sen(x)-\cos(x)][/tex3]. Como sabemos, não existe divisão por ZERO, portanto, devemos garantir que [tex3][\sen(x)-\cos(x)][/tex3] será um número diferente de ZERO, para poder prosseguir com o cálculo.

[tex3]\sen(x)-\cos(x)\neq+0[/tex3]

[tex3]\sen(x)\neq\cos(x)[/tex3]

Para esta desigualdade, temos apenas as soluções:

[tex3]x\neq+45^{\circ}[/tex3] e [tex3]x\neq+225^{\circ}[/tex3]

Portanto, a partir deste momento, estamos sabendo que estes valores não irão aparecer no nosso cálculo (pois para podermos prosseguir, tivemos que anular os fatores, e para isso garantimos que o x será diferente destes valores).

Note, que, isto não quer dizer que eles não poderão ser respostas.  Para afirmarmos isto, devemos testar cada um destes valores na equação original para confirmar se eles serão ou não válidos! Deixamos este teste para o final. Voltanto à equação em que paramos:

[tex3]4\cdot[\sen(x)-\cos(x)]\cdot[1+\sen(x)\cdot\cos(x)]=5\cdot[\sen(x)-\cos(x)][/tex3]

Podemos, agora, “cortar” o fator [tex3][\sen(x)-\cos(x)][/tex3] dos dois lados da igualdade:

[tex3]4\cdot[1+\sen(x)\cdot\cos(x)]=5[/tex3]

“Passando” o 4 para o outro lado dividindo:

[tex3]1+\sen(x)\cdot\cos(x)=\frac{5}{4}[/tex3]

Passando o 1 para o outro lado diminuindo:

[tex3]\sen(x)\cdot\cos(x)=\frac{5}{4}-1[/tex3]

Note, que, na expressão do lado esquerdo da igualdade, podemos multiplicar e dividir por 2. Veja abaixo:

[tex3]\frac{2\cdot\sen(x)\cdot\cos(x)}{2}=\frac{1}{4}[/tex3]

Simplificando, e, sabendo que [tex3]2\cdot\sen(x)\cdot\cos(x)=\sen(2x)[/tex3], temos:

[tex3]\sen(2x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Os ângulos entre 0 e 2π que possuem seno igual a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3], são 30o e 150o. Portanto:

[tex3]2x=30^{\circ}[/tex3]

[tex3]x=15^{\circ}[/tex3]

ou

[tex3]2x=150^{\circ}[/tex3]

[tex3]x=75^{\circ}[/tex3]

Agora, devemos testar os valores que ficaram pendentes (x = 45o e x = 225o). Para testar, devemos substituir o “x” da equação original por 45o e po 225o.

x = 45o
[tex3]4\cdot[\sen^3(45^{\circ})-cos^3(45^{\circ})]=5\cdot[\sen(45^{\circ})-\cos(45^{\circ})][/tex3]

Efetuando os cálculos, temos:

0=0

Ok, é verdade. Portanto, x = 45o é uma resposta!

x = 225o

[tex3]4\cdot[\sen^3(225^{\circ})-cos^3(225^{\circ})]=5\cdot[\sen(225^{\circ})-\cos(225^{\circ})][/tex3]

Efetuando os cálculos, temos:

0=0

Ok, é verdade. Portanto, x = 225o também é uma resposta!

As respostas para este problema, são:

x = 15o

x = 75o

x = 45o

x = 225o