(UnB – 1988) Assinale as afirmações verdadeiras.
a) Se [tex3]\sen x \cdot \cos x > 0[/tex3] , então [tex3]\sen (\pi + 2x) < 0[/tex3];
b) A [tex3]\cotg x[/tex3] existe se, e somente se, a [tex3]cossec x[/tex3] existe;
c) Se [tex3]0 < x < \pi[/tex3] e [tex3]|\sen x|=1/2[/tex3], então [tex3]x = \frac{\pi}{6}[/tex3];
d) Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções [tex3]\sen(x)[/tex3] e [tex3]\cos(x)[/tex3], então os pontos assinalados correspondem aos valores de [tex3]x[/tex3] tais que [tex3]\tg (x) = 0[/tex3]
e) Existe um único valor de [tex3]x[/tex3] entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] tal que [tex3]\sec2(x) – \tg^2(x) – 1 = 0[/tex3]
f) O período da função [tex3]\cos(2x)[/tex3] é menor do que o período da função [tex3]\cos(x)[/tex3].
g) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este cateto é menor do que 30º.
h) [tex3]\cos\(\frac{\pi}{2} rad\) < \cos (1 rad)[/tex3]
AFIRMATIVA A – VERDADEIRA
(a) Se sen x . cos x > 0 , então sen (π + 2x) < 0;
O enunciado nos diz sen x . cos x > 0, vamos pegar esta sentença e multiplicar por 2 dos dois lados da desigualdade:
2 . sen x . cos x > 2 . 0 ou
2 . sen x . cos x > 0
Note que do lado esquerdo da desigualdade temos o valor de sen(2x), substituindo:
sen (2x) > 0
Guarde que sen (2x) é um valor positivo. O exercício diz que se isso for verdade então sen (π + 2x) < 0 . Aplicando a fórmula do seno da soma de dois arcos, temos:
sen (π + 2x) < 0
sen(π) . cos(2x) + sen(2x) . cos(π) < 0
Lembrando que sen(π) = 0 e cos(π) = -1, temos
– sen(2x) < 0
Note que na primeira sentença descobrimos que sen (2x) é um valor positivo, portanto, com o sinal negativo na frente se torna negativo. Fazendo com que a afirmativa “A” seja VERDADEIRA.
AFIRMATIVA B – VERDADEIRA
(b) A cotg x existe se, e somente se, a cossec x existe;
Lembre que co-tangente é o inverso da tangente:
[tex3]\cot+(x)=\frac{1}{\tan(x)}[/tex3]
Portanto, como não existe divisão por zero, a co-tangente só não irá existir quando a tangente for 0, ou seja, não irá existir em 0o, 180o, 360o,…
A co-secante de um arco é o inverso do seno deste arco:
[tex3]\csc+(x)=\frac{1}{\sen(x)}[/tex3]
Portanto, pelo mesmo motivo, não irá existir quando sen(x) for nulo, ou seja, não irá existir para x = 0o, 180o, 360o,…
Tornando a afirmativa verdadeira.
AFIRMATIVA C – FALSA
(c) Se 0 < x < π e |sen x|=1/2, então x = π/6;
Esta afirmativa é um pega-ratão, note que se substituirmos o valor de x que foi dado (x = π/6), poderemos dizer que está correta (pois |sen π/6|=1/2, realmente). O que está errado é dizer que só é verdade se x for π/6, pois também é verdade para 5π/6 e muitos outros.
AFIRMATIVA D – FALSA
(d) Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções sen(x) e cos(x), então os pontos assinalados correpondem aos valores de x tais que tg (x) = 0
Os pontos assinalados na figura correspondem aos arcos em que o valor do seno é igual ao valor do co-seno. Estes arcos são 45o, 225o e todos os seus equivalentes. Ou seja:
tg(45o) = 1
tg(225o) = 1
Tornando a afirmativa falsa.
AFIRMATIVA E – FALSA
(e) Existe um único valor de x entre 0 e π/2 tal que sec2(x) – tg2(x) – 1 = 0
Utilizando a equivalência da trigonometria, que é válida para qualquer valor de “x”:
sec2(x) = tg2(x) + 1
Vamos substituir na equação dada:
sec2(x) – tg2(x) – 1 = 0
tg2(x) + 1 – tg2(x) – 1 = 0
0=0
Com esta resposta concluímos que, para qualquer valor real de x, teremos a equação dada como sendo verdadeira. Portanto, a afirmativa é falsa, já que diz que existe apenas um valor de x.
AFIRMATIVA F – VERDADEIRA
( f ) O período da função cos(2x) é menor do que o período da função cos(x).
A função cos(2x) possui período π, e a função cos(x) possui período 2π.
AFIRMATIVA G – VERDADEIRA
(g) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este cateto é menor do que 30o.
Veja o desenho do triângulo abaixo:
Aplicando a fórmula do seno, temos:
Sendo um ângulo interno de um triângulo retângulo, só pode ser pertencente ao primeiro quadrante. O seno de 30o vale 0,5, ou seja, se α possui um valor de seno menor do que 0,5 e está no primeiro quadrante, com certeza será menor do que 30o.
AFIRMATIVA H – VERDADEIRA
(h) cos(π/2 rad) < cos (1 rad)
Sabemos que cos(π/2) = 0 e também sabemos que 1 radiano encontra-se no primeiro quadrante, portanto, é um valor positivo. O zero é menor do que qualquer valor positivo, por isso a afirmativa é correta.