Trigonometria

( IME – 1993 ) Resolva a equação:

sen(x) – cos (x) = sen (2x) – cos (2x) – 1


Para resolver esta questão, devemos lembrar as fórmulas do seno e co-seno de arcos duplos (dobro de um arco) e a equivalência fundamental da trigonometria. Veja abaixo:

Seno de um arco duplo sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
Co-seno de um arco duplo cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
Equivalência Fundamental sen2(x) + cos2(x) = 1

Agora, com estas fórmulas em mãos, podemos substituir na equação do enunciado:

sen(x) – cos (x) = 2sen(x)cos(x) – [cos2(x) – sen2(x)] – 1
sen(x) – cos (x) = 2sen(x)cos(x) – cos2(x) + sen2(x) – 1

Vamos substituir o “1” do lado direito da equação pela “Equivalência fundamental”:

sen(x) – cos (x) = 2sen(x)cos(x) – cos2(x) + sen2(x) – [sen2(x) + cos2(x)]
sen(x) – cos (x) = 2sen(x)cos(x) – cos2(x) + sen2(x) – sen2(x) – cos2(x)

Podemos cancelar os termos sen2(x) do lado direito:

sen(x) – cos (x) = 2sen(x)cos(x) – cos2(x) – cos2(x)
sen(x) – cos (x) = 2sen(x)cos(x) – 2cos2(x)

Podemos colocar o termo 2cos(x) em evidência do lado direito da equação:

sen(x) – cos (x) = 2cos(x)[sen(x) – cos(x)]

Agora podemos passar dividindo o termo entre colchetes para o lado esquerdo:

[tex3]\frac{\sen(x)-\cos(x)}{\sen(x)-\cos(x)}=2\cos(x)[/tex3]

Note, que, esta divisão só irá existir se o denominador for diferente de ZERO. Portanto, para podermos prosseguir com a resolução, devemos garantir que:

sen(x) – cos (x) ≠ 0
sen(x) ≠ cos (x)

Para isso, devemos ter:

x ≠ 45o e x ≠ 225o

pois estes são os valores, entre 0o e 360o que possuem o seno igual ao co-seno.

ATENÇÃO

Devo lembrar que, estes valores não estarão presentes mais na possível resposta do nosso cálculo, a partir de agora (pois para prosseguir tivemos que garantir que sen(x)-cos (x)≠0), mas não quer dizer que não poderão ser respostas da questão. Para afirmarmos se eles são, ou não, respostas da questão, devemos testar cada valor e ver se achamos uma igualdade. Deixaremos este teste para o final da questão.

Continuando, efetuando a divisão em que paramos:

[tex3]\frac{\sen(x)-\cos(x)}{\sen(x)-\cos(x)}=2\cos(x)[/tex3]

1 = 2cos(x)

Portanto:

[tex3]\cos(x)=\frac{1}{2}[/tex3]

E isso irá ocorrer quando x for igual a 60o ou 300o. Ou seja, transformando em radianos:

[tex3]x=\frac{\pi}{3}[/tex3] ou [tex3]x=\frac{5\pi}{3}[/tex3]
Estes foram os valores encontrados no nosso cálculo. Agora iremos testar os valores x = 45o e x = 225o para saber se eles irão entrar na resposta final, ou não. Para testar, devemos simplesmente substituir o valor de x pelo valor a ser testado na equação original sen(x) – cos (x) = sen (2x) – cos (2x) – 1.

x = 45o

sen(45o) – cos (45o) = sen (2.45o) – cos (2.45o) – 1
sen(45
o) – cos (45o) = sen (90o) – cos (90o) – 1

[tex3]\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=1-0-1[/tex3]

Ou seja:

0=0

Que é uma verdade matemática, portanto, x = 45o é uma resposta válida para a questão.

[tex3]45^{\circ}=\frac{\pi}{4}rad[/tex3]

x = 225o

sen(225o) – cos (225o) = sen (2.225o) – cos (2.225o) – 1
sen(225
o) – cos (225o) = sen (450o) – cos (450o) – 1

[tex3]-\frac{\sqrt 2}{2}-\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)=1-0-1[/tex3]

Ou seja:

0=0

Que é uma verdade matemática, portanto, x = 225o também é uma resposta válida para a questão.

[tex3]225^{\circ}=\frac{5\pi}{4}rad[/tex3]

Mas não devemos nos esquecer que os arcos que são formado por estes MAIS um número inteiro de voltas, possuem os mesmos valores de co-seno. Por exemplo, o arco 60o e o arco 420o (360o+60o) possuem o mesmo valor de co-seno pois o segundo é o primeiro mais uma volta. Representamos este número de voltas por 2kπ. Portanto, a resposta correta seria:

[tex3]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex3]   ou   [tex3]x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi[/tex3]
[tex3]x=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex3]   ou   [tex3]x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/tex3]1

Estas são as respostas corretas! 🙂