( ITA – 89 ) O produto dos números complexos [tex3]Z=x+yi[/tex3], que têm módulo igual a [tex3]\sqrt 2[/tex3] e se encontram sobre a reta [tex3]y=2x-1[/tex3] contida no plano complexo, é igual a:
(A) [tex3]\frac{6}{5}-\frac{8}{5}\cdot i[/tex3]
(B) [tex3]\frac{4}{5}-\frac{2}{5}\cdot i[/tex3]
(C) [tex3]-\frac{8}{5}-\frac{8}{8}\cdot i[/tex3]
(D) [tex3]2+2\cdot i[/tex3]
(E) N.D.A
Se [tex3]Z = x + yi[/tex3] e [tex3]y = 2x – 1[/tex3], podemos substituir o valor de [tex3]y[/tex3] da segunda equação na primeira:
[tex3]Z = x + (2x – 1)i[/tex3]
Como é dito que o módulo do número [tex3]Z[/tex3] é [tex3]\sqrt 2[/tex3], devemos utilizar a fórmula do módulo dos complexos. Lembrando:
sendo [tex3]Z = a + bi[/tex3]
[tex3]|Z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
Aplicando a fórmula, temos:
[tex3]|Z|=\sqrt{x^2+(2x-1)^2}\\\sqrt 2+=+\sqrt{x^2+(2x-1)^2}[/tex3]
Elevando ao quadrado ambos os lados
[tex3]\left(\sqrt 2\right)^2+=+\left(\sqrt{x^2+(2x-1)^2}\right)^2\\2=x^2+(2x-1)^2[/tex3]
Vamos agora calcular o quadrado dos termos dos parênteses:
[tex3]2 = x^2 + 4x^2 – 4x + 1[/tex3]
[tex3]x^2 + 4x^2 – 4x + 1 = 2[/tex3]
[tex3]5x^2 – 4x + 1 -2 = 0[/tex3]
[tex3]5x^2 – 4x – 1 = 0[/tex3]
Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Báscara achamos as raízes:
[tex3]\boxed{x’=1}\text{ e }\boxed{x”=-\frac{1}{5}}[/tex3]
Estes são os valores de [tex3]x[/tex3], agora vamos substituir na equação da reta para achar seus respectivos [tex3]y[/tex3]:
[tex3]y’ = 2x’ – 1\,\,\to\,\,y’ = 2.1 – 1\,\,\to\,\,\boxed{y’ = 1}[/tex3]
[tex3]y”=2x”-1\,\,\to\,\,y”=2\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)-1\,\,\to\,\,\boxed{y”=-\frac{7}{5}}[/tex3]
Portanto, os números complexos que obedecem ao enunciados são:
[tex3]\boxed{1+i}\text{ e }\boxed{-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\cdot i}[/tex3]
Como o exercício pede a multiplicação destes números, vamos multiplicar:
[tex3](1+i)\cdot\left(-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\cdot i\right)=\frac{6}{5}-\frac{8}{5}\cdot i[/tex3]
Resposta certa, letra “A”