Trigonometria

( ITA – 89 ) O produto dos números complexos [tex3]Z=x+yi[/tex3], que têm módulo igual a [tex3]\sqrt 2[/tex3] e se encontram sobre a reta [tex3]y=2x-1[/tex3] contida no plano complexo, é igual a:

(A) [tex3]\frac{6}{5}-\frac{8}{5}\cdot i[/tex3]

(B) [tex3]\frac{4}{5}-\frac{2}{5}\cdot i[/tex3]

(C) [tex3]-\frac{8}{5}-\frac{8}{8}\cdot i[/tex3]

(D) [tex3]2+2\cdot i[/tex3]

(E) N.D.A

 


Se Z = x + yi e y = 2x – 1, podemos substituir o valor de y da segunda equação na primeira:

Z = x + (2x – 1)i

Como é dito que o módulo do número Z é [tex3]\sqrt 2[/tex3], devemos utilizar a fórmula do módulo dos complexos. Lembrando:

 

sendo Z = a + bi

[tex3]|Z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]

Aplicando a fórmula, temos:

 

[tex3]|Z|=\sqrt{x^2+(2x-1)^2}\\\sqrt 2+=+\sqrt{x^2+(2x-1)^2}[/tex3]

Elevando ao quadrado ambos os lados

[tex3]\left(\sqrt 2\right)^2+=+\left(\sqrt{x^2+(2x-1)^2}\right)^2\\2=x^2+(2x-1)^2[/tex3]

Vamos agora calcular o quadrado dos termos dos parênteses:

2 = x2 + 4x2 – 4x + 1
x2 + 4x2 – 4x + 1 = 2
5x2 – 4x + 1 -2 = 0
5x2 – 4x – 1 = 0

Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara achamos as raízes:

[tex3]x’=1\textrm{+++e+++}x”=-\frac{1}{5}[/tex3]

Estes são os valores de x, agora vamos substituir na equação da reta para achar seus respectivos y:

y’ = 2x’ – 1
y’ = 2.1 – 1
y’ = 1

[tex3]y”=2x”-1\\y”=2\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)-1\\y”=-\frac{7}{5}[/tex3]

Portanto, os números complexos que obedecem ao enunciados são:

 

[tex3]1+i\textrm{+++e+++}-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\cdot i[/tex3]

Como o exercício pede a multiplicação destes números, vamos multiplicar:

[tex3](1+i)\cdot\left(-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\cdot i\right)=\frac{6}{5}-\frac{8}{5}\cdot i[/tex3]

Resposta certa, letra “A”