Trigonometria

Em um triângulo ABC, [tex3]\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{C}{2}\right)[/tex3] é igual a:

(A) [tex3]\frac{p}{R}[/tex3]

(B) [tex3]\frac{2p}{R}[/tex3]

(C) [tex3]\frac{p}{2R}[/tex3]

(D) [tex3]\frac{p}{4R}[/tex3]

(E) NRA

p = semiperímetro R = raio do círculo circunscrito


Sendo um triângulo temos: A+B+C=180°. Dividindo por 2 podemos ter:

[tex3]\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^{\circ}[/tex3]

Isolando [tex3]\frac{C}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{C}{2}=90^{\circ}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)[/tex3]

Assim podemos dizer que [tex3]\cos\left(\frac{C}{2}\right)=\sen\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)[/tex3].

Substituindo este valor na equação do enunciado e desenvolvendo um pouquinho:

[tex3]\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\sen\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\left[\sen\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)+\sen\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)\right][/tex3]

[tex3]\sen\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{B}{2}\right)+\sen\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{A}{2}\right)[/tex3]

Agora vamos multiplicar e dividir a expressão por [tex3]\sen\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\sen\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)[/tex3]:

[tex3]\sen\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\sen\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\frac{\left(\sen\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{B}{2}\right)+\sen\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{A}{2}\right)\right)}{\sen\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\sen\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)}[/tex3]

Efetuando as divisões pertinentes no qüociente acima:

[tex3]\sen\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)\sen\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\left[\cot\left(\frac{B}{2}\right)+\cot\left(\frac{A}{2}\right)\right][/tex3]

Agora devemos utilizar as fórmulas que relacionam os arcos metades aos arcos inteiros, que são:

[tex3]\frac{\sen(X)}{2}=\sen\left(\frac{X}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{X}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\cot\left(\frac{X}{2}\right)=\frac{1+\cos(X)}{\sen(X)}[/tex3]

Substituindo estas fórmulas na expressão encontrada:

[tex3]\frac{\sen(A)}{2}\cdot\frac{\sen(B)}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos(B)}{\sen(B)}+\frac{1+\cos(B)}{\sen(A)}\right)[/tex3]

Efetuando a soma de frações e a multiplicação, ficamos com:

[tex3]\frac{\sen(A)+\overbrace{\sen(A)\cdot\cos(B)}+\sen(B)+\overbrace{\sen(B)\cdot\cos(A)}}{4}[/tex3]

Os termos grifados acima são exatamente as parcelas do desenvolvimento de sen(A+B). Mas, por ser um triângulo A+B=180°-C e, assim, sen(A+B)=sen(180°-C)=sen(C). Substituindo:

[tex3]\frac{\sen(A)+\sen(B)+\sen(C)}{4}[/tex3]

Agora, utilizando a Lei-dos-Senos podemos substituir os senos por:

[tex3]\sen(A)=\frac{a}{2R}[/tex3]

[tex3]\sen(B)=\frac{b}{2R}[/tex3]

[tex3]\sen(C)=\frac{c}{2R}[/tex3]

Onde a, b e c são os lados do triângulo e R é o raio do círculo circunscrito. Substituindo estes valores na última expressão encontrada:

[tex3]\frac{\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{a+b+c}{2}}{4R}[/tex3]

[tex3]\frac{p}{4R}[/tex3]