Trigonometria

Se sen [tex3]\alpha=-\frac{4}{5}[/tex3]  e α for pertencente ao 4º Quadrante, o valor da expressão [tex3]y=\sqrt 5\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)-7\cdot \tan(2\cdot \alpha)[/tex3] será:

(A) 28
(B) -24
(C) -26
(D) 27
(E) 25


Utilizando a equivalência fundamental da trigonometria, sen²(x) + cos²(x) = 1, podemos calcular o valor de cos α:

[tex3]\left(-\frac{4}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1[/tex3]

[tex3]\frac{16}{25}+\cos^2\alpha=1[/tex3]

[tex3]\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}[/tex3]

[tex3]\cos\alpha=\sqrt{\frac{9}{25}}[/tex3]

[tex3]\cos\alpha=\frac{3}{5}[/tex3]

Sabendo que α está no quarto quadrante, então o cosseno é positivo e vale 3/5.

Sabendo que [tex3]\tan\alpha=\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}[/tex3] temos que tan α = – 4/3

Agora iremos utilizar as seguintes fórmulas:

cos(2x) = cos²(x) – sen²(x)

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

podemos fazer uma transformação nestas fórmulas e utilzá-las da seguinte maneira:

[tex3]\sen\alpha=2\cdot \sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]        (1)

[tex3]\cos\alpha=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sen^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]    (2)

Estas transformações são válidas, pois a fórmula diz que o seno do dobro de um arco é igual à duas vezes o seno deste arco vezes o cosseno deste arco. Vamos tomar nosso arco como sendo x/2, portanto o dobro deste arco será x. O mesmo vale para o cosseno.

Na equação (2) vamos isolar o valor de [tex3]\sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3] e substituir o valor de cos x que já sabemos:

[tex3]\cos\alpha=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sen^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{3}{5}=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sen^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\sen^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) – \frac{3}{5}[/tex3]

[tex3]\sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{3}{5}}[/tex3]

Veja que a raiz trouxe duas opções, ou + ou –, qual iremos utilizar? Como o ângulo é do quarto quadrante, a metade deste ângulo será do segundo quadrante, portanto terá seno positivo, vale o +.

Agora que já sabemos este valor, vamos substituí-lo na equação (1)

[tex3]\sen\alpha=2\cdot \left(\sqrt{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{3}{5}}\right)\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]

Para calcular melhor esta equação, vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado. O valor de sen x já sabemos, podemos substituí-lo.

[tex3]\left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \left[ 2\cdot \left(\sqrt{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) – \frac{3}{5}}\right) \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right]^2[/tex3]

[tex3]\frac{16}{25}=4\cdot \left[\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{3}{5}\right]\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{4}{25}=\cos^4\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{3\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{5}[/tex3]

Dá para cortar o 16 com o 4

Para facilitar os cálculos daqui para frente, vamos chamar o[tex3]\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=Y[/tex3], ou seja:

[tex3]\frac{4}{25}=Y^2-\frac{3\cdot Y}{5}[/tex3]

[tex3]25\cdot Y^2-15Y-4=0[/tex3]

Aplicando Bhaskara, achamos como raízes:

Y’=4/5
Y”=-1/5

Como [tex3]Y=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3] , ou seja, é um número elevado ao quadrado, não pode ter como resposta um valor negativo, portanto, o único valor que Y pode admitir é 4/5:

[tex3]\frac{4}{5}=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}=\pm\frac{2}{\sqrt 5}[/tex3]

Como α/2 está no segundo quadrante, seu cosseno será negativo, portanto, vale a raiz negativa.

Pronto, achamos o valor de[tex3]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex3]

Agora só nos falta achar o valor de [tex3]\tan(2\cdot \alpha)[/tex3], utilizaremos a fórmula:

[tex3]\tan(2\cdot \alpha)=\frac{2\cdot \tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}[/tex3]

[tex3]\tan(2\cdot \alpha)=\frac{2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)}{1-\left(-\frac{4}{3}\right)^2}[/tex3]
[tex3]\tan(2\cdot \alpha)=\frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}}[/tex3]

[tex3]\tan(2\cdot \alpha)=\left(-\frac{8}{3}\right)\times\left(-\frac{9}{7}\right)[/tex3]

[tex3]\tan(2\cdot \alpha)=\frac{24}{7}[/tex3]

Pronto, já temos todas as informações pedidas, agora é só substituir na fórmula pedida.

[tex3]y=\sqrt 5\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)-7\cdot \tan(2\cdot\alpha)[/tex3]

[tex3]y=\sqrt 5\times\left(-\frac{2}{\sqrt 5}\right)-7\times\frac{24}{7}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{y=-26}}[/tex3]

Resposta correta, letra “C”