Trapézio e Círculo

Na figura abaixo os segmentos AB e DA são tangentes à circunferência determinada pelos pontos B, C e D.
Sabendo-se que os segmentos AB e CD são paralelos, pode-se afirmar que o lado BC é:

(A) a média aritmética entre AB e CD.

(B) a média geométrica entre AB e CD.

(C) a média harmônica entre AB e CD.

(D) o inverso da média ar itmét ica entre AB e CD.

(E) o inverso da média harmônica entre AB e CD.

Sendo AB paralela a CD, se traçarmos uma reta perpendicular a AB, esta será perpendicular a CD também.

Traçamos então uma reta perpendicular a AB, passando por B e outra perpendicular a AB passando por D:

Sendo BE perpendicular a AB temos que BE irá passar pelo centro da circunferência, ou seja, podemos concluir que o ponto E é ponto médio de CD.

Agora que ED é metade de CD, podemos dizer que o comprimento AF vale AB-CD/2. Aplicamos pitágoras no triângulo ADF:

$formdata=\left(AB-\frac{CD}2\right)^2+(BE)^2=(AD)^2$

(1) $formdata=(AB)^2-(AB)(CD)+\left(\frac{CD}2\right)^2+(BE)^2=(AD)^2$

Aplicamos agora no triângulo ECB:

(2) $formdata=\left(\frac{CD}2\right)^2+(BE)^2=(BC)^2$

Agora diminuímos a equação (1) da equação (2):

$formdata=(AB)^2-(AB)(CD)=(AD)^2-(BC)^2$

Note, no desenho, que os segmentos AD e AB possuem o mesmo comprimento, pois são tangentes à circunferência. Vamos então substituir na expressão acima AD=AB:

$formdata=(AB)^2-(AB)(CD)=(AB)^2-(BC)^2$