Teoria dos Conjuntos

( UFRN ) Se A, B e C são conjuntos tais que

[tex3]n(A-(B\cup C))=15\\n(B-(A\cup C))=20,\\n(C-(A\cup B))=35\\n(A\cup B\cup C)=120[/tex3],

então, [tex3]n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))[/tex3] é igual a:

(A) 40
(B) 50
(C) 60
(D) 70
(E) 80


A simbologia n(A) = 10 nos diz que o conjunto “A” possui 10 elementos.

Este exercício fica barbadinha quando fazemos os diagramas Venn-Euler de tais conjuntos. Como temos três conjuntos, e existe a intersecção entre eles, o desenho que iremos trabalhar será o seguinte:

conj01-01.gif (2987 bytes)

Vamos ver a primeira informação do exercício, [tex3]n(A-(B\cup C))=15[/tex3]. O conjunto “A” já sabemos qual é, agora, o conjunto [tex3]B\cup C[/tex3], como seria?

conj01-02.gif (2783 bytes)

Portanto, ao subtrairmos de dentro do conjunto “A” todo este verde que está acima, teremos o seguinte conjunto:

conj01-03.gif (2944 bytes)

Como diz a informação, [tex3]n(A-(B\cup C))=15[/tex3], neste espaço rosa, temos 15 elementos.

A segunda informação: [tex3]n(B-(A\cup C))=20[/tex3]

conj01-04.gif (4654 bytes)

A terceira informação: [tex3]n(C-(A\cup B))=35[/tex3]

conj01-05.gif (4536 bytes)

Até o momento, temos a seguinte configuração:

conj01-07.gif (2176 bytes)

Note que a soma destes elementos é 15 + 20 + 35 = 70.

A quarta informação: [tex3]n(A\cup B\cup C)=20[/tex3]

conj01-06.gif (2388 bytes)

Esta informação nos diz que a soma de TODOS elementos presentes no desenho vale 120.

Como na informação anterior, tínhamos 70 elementos presentes nas “bordas” do diagrama, e no total temos 120 elementos, concluímos que o centro deste diagrama, terá 50 elementos.

conj01-08.gif (3137 bytes)

O que o exercício pede é [tex3]n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))[/tex3], que é justamente a união das três intersecções:

conj01-09.gif (6859 bytes)

Portanto, como já vimos antes, a resposta é 50.