Somatório

Determine o resto da divisão de

[tex3]1!\cdot 5+2!\cdot 11+…+K!\cdot(K^2+3k+1)+…+200!\cdot40601[/tex3]

por 2004


A primeira coisa a fazer é visualizar o formato das parcelas que estão sendo somadas. Cada parcela é do tipo [tex3]K^2+3k+1[/tex3] com k variando de 1 até 200.

Para confirmar esta afirmação, vamos substituir “k” por alguns valores:

[tex3]K^2+3k+1[/tex3]

[tex3]k=1[/tex3] [tex3]1!\cdot(1^2+3\cdot 1+1)=1!\cdot 5[/tex3]
[tex3]k=2[/tex3] [tex3]2!\cdot(2^2+3\cdot 2+1)=2!\cdot 11[/tex3]
[tex3]k=200[/tex3] [tex3]200!\cdot(200^2+3\cdot 200+1)=200!\cdot 4601[/tex3]

Veja que os valores conferem com os dados no enunciado. Sendo assim, podemos escrever a soma do enunciado como sendo um somatório:

[tex3]\cdot 5+2!\cdot 11+…+K!\cdot(K^2+3k+1)+…+200!\cdot40601=\sum_{k=1}^{200}k!\cdot(k^2+3k+1)[/tex3]

Se conseguirmos descobrir o valor numérico deste somatório, será fácil descobrir o resto da divisão dele por 2004.

Para facilitar a resolução, vamos trabalhar somente com a expressão [tex3]K!\cdot(K^2+3k+1)[/tex3], pois se conseguirmos simplificá-la, o nosso trabalho será muito mais rápido.

A partir de agora devemos saber uma propriedade:

A expressão

[tex3](k+1)!-k![/tex3]

pode ser simplificada para nos auxiliar na resolução.

[tex3](k+1)!-k![/tex3] desenvolvendo um fator de [tex3](k+1)![/tex3]
[tex3](k+1)\cdot k!-k![/tex3] colocando k! em evidência
[tex3]k!\cdot(k+1-1)[/tex3] finalizando
[tex3]k!\cdot k[/tex3]

Ou seja, a expressão (k+1)! – k! pode ser rescrita como:

(1)        [tex3](k+1)!-k!=k!\cdot k[/tex3]

Esta será a nossa equivalência (1)

Voltando à expressão [tex3]K!\cdot(K^2+3K+1)[/tex3], vamos efetuar a multiplicação:

[tex3]K!\cdot(K^2+3K+1)[/tex3]

[tex3]K!\cdot K^2+K!\cdot 3K+K![/tex3]

[tex3]\color{green}K!\cdot K[/tex3][tex3]\cdot K+3[/tex3][tex3]\color{green}K!\cdot K[/tex3][tex3]+K![/tex3]

Note que os dois termos grifados em verde na última linha podem ser substituidos pela equivalência (1):

[tex3][(K+1)!-K!]\cdot K+3\cdot[(K+1)!-K!]+K![/tex3]

Efetuando as multiplicações (propriedade distributiva):

[tex3](K+1)!\cdot K-[/tex3][tex3]\color{green}K!\cdot K[/tex3][tex3]+3\cdot(K+1)!-3\cdot K!+K![/tex3]

Novamente, o termo grifado acima pode ser substituido pela equivalência (1):

[tex3](K+1)!\cdot K-[(K+1)!-K!]+3\cdot(K+1)!-3\cdot K!+K![/tex3]


[tex3](K+1)!\cdot K[/tex3][tex3]\color{red}-(K+1)![/tex3][tex3]\color{blue}+K![/tex3][tex3]\color{red}+3\cdot(K+1)![/tex3][tex3]\color{blue}-3\cdot K!+K![/tex3]

Somando os termos comuns (grifados acima):

[tex3](K+1)!\cdot K[/tex3][tex3]\color{red}+2\cdot(K+1)![/tex3][tex3]\color{blue}-K![/tex3]

Podemos colocar o termo [tex3](K+1)![/tex3] em evidência:

[tex3](K+1)!\cdot (K+2)-K![/tex3]

Note que [tex3](K+1)!\cdot (K+2)[/tex3] é a mesma coisa que [tex3](K+2)![/tex3]:

[tex3](K+2)!-K![/tex3]

Agora encontramos uma forma mais simples de expressar o nosso somatório inicial:

[tex3]\sum_{K=1}^{200}K!\cdot(K^2+3K+1)=[/tex3][tex3]\color{blue}\sum_{K=1}^{200}(K+2)!-K![/tex3]

Agora fica barbadinha! É só a gente substituir alguns valores de k, ver qual propriedade que acontence e achar o valor do somatório:

k = 1 3! – 1!
k = 2 4! – 2!
k = 3 5! – 3!
k = 4 6! – 4!
k = 5 7! – 5!
………
k = 197 199! – 197!
k = 198 200! – 198!
k = 199 201! – 199!
k = 200 202! – 200!

Veja que teremos várias parcelas sendo anuladas:

somatorio03.gif (3759 bytes)

Siga a lógica dos cortes. Os termos 6!, 7!, -197! e -198! serão também anulados pelas parcelas que não escrevemos na tabela. Os únicos que irão sobrar são os termos -1!, -2!, 201! e 202!. Sendo assim, podemos concluir:

[tex3]\sum_{K=1}^{200}(K+2)!-K!=-1!-2!+201!+202![/tex3]

[tex3]\sum_{K=1}^{200}(K+2)!-K!=201!+202!-3[/tex3]

Agora podemos rescrever o enunciado como sendo:

“Determine o resto da divisão de  (201! + 202! – 3)  por 2004″

Fatorando o número 2004 temos:

[tex3]2004=2^2\cdot 3\cdot 167[/tex3]

Ou seja, qualquer número que tiver em sua fatoração o 4 o 3 e o 167 será divisível por 2004. Veja que o 201! e o 202! possuem tais fatores em seu desenvolvimento, tornando-os divisíveis por 2004. Ao somar dois números divisíveis por 2004, o resultado é um número divisível por 2004. Sendo assim, (201! + 202!) é divisível por 2004.

Com este falatório todo, podemos concluir que (201! + 202! – 3) é três unidades menor que um número divisível por 2004. Ou seja, faltam 3 unidades para ele se tornar um divisível por 2004. Sendo assim, o resto será:

resto = 2004 – 3 = 2001