(UnB) Na figura ao lado, os sólidos de mesmo formato que estão sobre os pratos das balanças têm massas iguais. Nas balanças A e B, os pratos estão em um mesmo nível, enquanto, na balança C, isso não ocorre. Para esta balança, calcule o percentual do excesso de massa total dos sólidos que estão no prato de nível mais baixo relativamente à massa total dos sólidos que estão no prato de nível mais alto. Despreze, caso exista, a parte fracionária do valor calculado.
Vamos começar “dando nomes aos bois”. Veja que em todas balanças estão envolvidos apenas três tipos de sólidos: cilindros, cones e esferas. Então, arbitraremos as incógnitas para os pesos destes sólidos:
cilindro = C
esfera = E
cone = N
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Na balança A, por estar equilibrada, os dois pratos possuem o mesmo peso. Portanto, cinco esferas têm o mesmo peso de dois cilindros mais um cone. Matematicamente falando
5E = 2C + N (1) Chamamos de equação (1) e a guardamos. |
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Na balança B, também equilibrada, podemos verificar a seguinte equação:
C + 2E = 3N (2) |
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E, na balança C temos a seguinte configuração.
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Note, que, podemos utilizar o valor de 5N que está idicado na equação (1) e substituir tal valor no prato da direita da balança C.
prato da esquerda |
prato da direita |
3C |
5E + 2N |
3C |
2C + N +2N |
3C |
2C + 3N |
Podemos agora, utilizando o valor de 3N que está indicado na equação (2) , substituir este no prato da direita. Novamente.
prato da esquerda |
prato da direita |
3C |
2C + 3N |
3C |
2C + C + 2E |
3C |
3C + 2E |
Esta configuração nos é muito útil, pois sabemos que o prato da direita é o mais pesado. Portanto, estará mais baixo.
Vamos guardá-la por uns minutinhos e voltar às primeiras equações.
5E = 2C + N (1)
C + 2E = 3N (2)
Devemos, agora, fazer com que a configuração atual da balança C tenha apenas uma incógnita. Com um “golpe de mestre”, isolamos N na equação (1).
N = 5E – 2C
Agora, substituimos este valor na equação (2):
C + 2E = 3.(5E – 2C)
C + 2E = 15E – 6C
C + 6C = 15E – 2E
7C = 13E
Isolando E.
prato da esquerda |
prato da direita |
3C |
3C + 2E |
3C |
Efetuando os cálculos no prato da direita:
prato da esquerda |
prato da direita |
3C |
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3C |
Agora está tudo legal. Temos os conteúdos dos dois pratos expressos com a mesma incógnita. Assim podemos calcular quanto (em porcentagem) vale o excesso de uma para outra em relação à de nível mais alto.
Lembra que o prato da direita está mais pesado, portanto, estará em um nível mais baixo. Então, o prato que está em um nível mais alto é o da esquerda.
Note que “excesso” nada mais é do que a diferença que existe entre os dois, ou seja, o valor que encontramos sutraindo um do outro:
O exercício pede quanto vale este excesso em relação ao prato mais alto, ou seja, ao da esquerda. Sabendo que no prato da esquerda temos 3 C, efetuamos a seguinte regrinha de três.
X ≈ 0,35897435
X ≈ 35,89 %
Como o exercício diz para desprezar a parte fracionária, a resposta final é:
X ≈ 35 %