Sistema de Equações

(UnB) Na figura ao lado, os sólidos de mesmo formato que estão sobre os pratos das balanças têm massas iguais. Nas balanças A e B, os pratos estão em um mesmo nível, enquanto, na balança C, isso não ocorre. Para esta balança, calcule o percentual do excesso de massa total dos sólidos que estão no prato de nível mais baixo relativamente à massa total dos sólidos que estão no prato de nível mais alto. Despreze, caso exista, a parte fracionária do valor calculado.

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Vamos começar “dando nomes aos bois”. Veja que em todas balanças estão envolvidos apenas três tipos de sólidos: cilindros, cones e esferas. Então, arbitraremos as incógnitas para os pesos destes sólidos:

cilindro = C
esfera = E
cone = N

	Na balança A, por estar equilibrada, os dois pratos possuem o mesmo peso. Portanto, cinco esferas têm o mesmo peso de dois cilindros mais um cone. Matematicamente falando 5E = 2C + N      (1) Chamamos de equação (1) e a guardamos.
	Na balança B, também equilibrada, podemos verificar a seguinte equação: C + 2E = 3N     (2)
	E, na balança C temos a seguinte configuração.   prato da esquerda prato da direita 3 cilindros 5 esferas mais 2 cones 3C 5E + 2N

Note, que, podemos utilizar o valor de 5N que está idicado na equação (1) e substituir tal valor no prato da direita da balança C.

 

prato da esquerda	prato da direita
3C	5E + 2N
3C	2C + N +2N
3C	2C + 3N

Podemos agora, utilizando o valor de 3N que está indicado na equação (2) , substituir este no prato da direita. Novamente.

 

prato da esquerda	prato da direita
3C	2C + 3N
3C	2C + C + 2E
3C	3C + 2E

Esta configuração nos é muito útil, pois sabemos que o prato da direita é o mais pesado. Portanto, estará mais baixo.
Vamos guardá-la por uns minutinhos e voltar às primeiras equações.

5E = 2C + N      (1)
C + 2E = 3N      (2)

Devemos, agora, fazer com que a configuração atual da balança C tenha apenas uma incógnita. Com um “golpe de mestre”, isolamos N na equação (1).

N = 5E – 2C

Agora, substituimos este valor na equação (2):

C + 2E = 3.(5E – 2C)
C + 2E = 15E – 6C
C + 6C = 15E – 2E
7C = 13E

Isolando E.

[tex3]E=\frac{7C}{13}[/tex3]Com este valor em mãos, podemos voltar à configuração da balança C e substituí-lo nela.

 

prato da esquerda	prato da direita
3C	3C + 2E
3C	[tex3]3C+2+\cdot \frac{7C}{13}[/tex3]

Efetuando os cálculos no prato da direita:

 

prato da esquerda	prato da direita
3C	[tex3]\frac{39C+14C}{13}[/tex3]
3C	[tex3]\frac{53C}{13}[/tex3]

Agora está tudo legal. Temos os conteúdos dos dois pratos expressos com a mesma incógnita. Assim podemos calcular quanto (em porcentagem) vale o excesso de uma para outra em relação à de nível mais alto.

Lembra que o prato da direita está mais pesado, portanto, estará em um nível mais baixo. Então, o prato que está em um nível mais alto é o da esquerda.

Note que “excesso” nada mais é do que a diferença que existe entre os dois, ou seja, o valor que encontramos sutraindo um do outro:

[tex3]\textrm{Excesso+}=\frac{53C}{13}-3C[/tex3][tex3]\textrm{Excesso+}=\frac{14C}{13}[/tex3]

O exercício pede quanto vale este excesso em relação ao prato mais alto, ou seja, ao da esquerda. Sabendo que no prato da esquerda temos 3 C, efetuamos a seguinte regrinha de três.

[tex3]3C \rightarrow+100\%25\\\frac{14C}{13}\rightarrow X\%25[/tex3]Calculando (lembrando que 100% = 1):

[tex3]3C+\cdot X+=+\frac{14C}{13}[/tex3]Podemos cortar os fatores “C” dos dois lados da igualdade e isolar X:

[tex3]X=\frac{14}{39}[/tex3]Efetuando a divisão:

X ≈ 0,35897435
X ≈ 35,89 %

Como o exercício diz para desprezar a parte fracionária, a resposta final é:

X ≈ 35 %