Sistema de Equações com Logaritmos

Se (x_o,y_o) é uma solução real do sistema:

$formdata=\left\{\log_2(x+2y)-log_3(x-2y)=2\\x^2-4y^2=4\right.$

Então x_o + y_o é igual a:

(A)

(B) $formdata=\frac{9}{4}$

(C) $formdata=\frac{11}{4}$

(D) $formdata=\frac{13}{4}$

(E) $formdata=\frac{17}{4}$

Vamos mostrar duas maneiras diferentes de resolver esta questão.

1^a Maneira – (Rápida, pouco cálculo, mas intuitiva)

(1)	$formdata=\left{\log_2(x+2y)-log_3(x-2y)=2\\x^2-4y^2=4\right.$
(2)

Veja que a equação (2) é o produto da soma pela diferença, portanto, fatorando:

$formdata=x^2-4y^2=4\\(x-2y)\cdot(x+2y)=4$

Olhando para esta multiplicação, vemos os fatores iguais aos logaritmandos da equação (1). Para encurtar o cálculo desta questão, vamos tentar alguns valores para (x-2y) e para (x+2y).

Para o produto de dois fatores resultar 4, existem infinitas respostas, mas as mais óbvias são as inteiras, ou seja:

$formdata=2\cdot2=4\\1\cdot4=4\\4\cdot1=4$

Se dissermos que (x-2y)=2 e (x+2y)=2, isso não poderá ocorrer, pois ao substituir na equação (1), teríamos:

$formdata=log_22-log_32=2\\log_32=-1$

Absurdo, portanto 2 x 2 não podemos ter. Se tentarmos (x-2y) = 1 e (x+2y) = 4, teremos:

$formdata=log_24-log_31=2\\2-0=2\\2=2$

Ok, chegamos em uma verdade, portanto, descobrimos que
(x-2y) = 1 e
(x+2y) = 4

Estes valores satisfazem a equação (1) e a equação (2), portanto, podemos utilizá-los.

Agora temos um novo sistema bem mais fácil de resolver:

(1)	$formdata=\left{x-2y=1\\x+2y=4\right.$
(2)

Somando as duas equações, temos:

$formdata=2x=5$

$formdata=x=\frac{5}{2}$

Substituindo este valor em (1), temos:

$formdata=\frac{5}{2}-2y=1$

$formdata=y=\frac{3}{4}$

Como o exercício pede a soma destes valores, temos:

(5/2) + (3/4) = 13/4
Resposta “D”

2^a Maneira – (Demorada, muito cálculo)

(1)	$formdata=\left{\log_2(x+2y)-log_3(x-2y)=2\\x^2-4y^2=4\right.$
(2)

Fatorando a equação (2):

(1)	$formdata=\left{\log_2(x+2y)-log_3(x-2y)=2\\(x+2y)\cdot+(x-2y)=4\right.$
(2)

Vamos isolar o valor (x-2y) na equação (2):

(1)	$formdata=\left{\log_2(x+2y)-log_3(x-2y)=2\\x-2y=\frac{4}{x+2y}\right.$
(2)

Agora vamos substituir este valor na equação (1):

$formdata=\log_2(x+2y)-log_3\left(\frac{4}{x+2y}\right)=2$

Vamos aplicar propriedades de logaritmo na divisão

$formdata=\log_2(x+2y)-[log_34-log_3{(x+2y)}]=2$

Retirar os colchetes

$formdata=\log_2(x+2y)-log_34+log_3{(x+2y)}=2$

Para um melhor cálculo, vamos colocar todos os logaritmos na base 2

$formdata=\log_2(x+2y)-\frac{log_24}{log_23}+\frac{log_2{(x+2y)}}{log_23}=2$

Tirando o MMC e efetuando as somas de frações

$formdata=\log_2(x+2y)\cdot+log_23-log_24+log_2{(x+2y)}=2\cdot+log_23$

$formdata=\log_2(x+2y)\cdot+log_23+log_2{(x+2y)}=2\cdot+log_23+log_24$

No lado esquerdo, vamos colocar log₂(x+2y) em evidência. No lado direito vamos aplicar propriedades de logaritmo

$formdata=\log_2(x+2y)\cdot+[log_23+1]=log_23^2+log_24$

Vamos substituir o “1” por log₂2

$formdata=\log_2(x+2y)\cdot+[log_23+\log_22]=log_23^2+log_24$

Aplicando propriedades de logaritmos.

$formdata=\log_2(x+2y)\cdot+log_2(3\cdot+2)=log_2(9\cdot4)$

$formdata=\log_2(x+2y)\cdot+log_26=log_236$

$formdata=\log_2(x+2y)=\frac{log_236}{log_26}$

Podemos “voltar” com a propriedade de mudança de bases

$formdata=\log_2(x+2y)=log_636$

Sabemos que
log₆(36) = 2

$formdata=\log_2(x+2y)=2$

$formdata=(x+2y)=2^2$

Se x+2y = 4, pela equação (2) temos que x-2y = 1. Com isso temos um novo sisteminha como na primeira maneira de resolver.

(1)	$formdata=(x-2y)=1$
(2)	$formdata=(x+2y)=4$

Assim x=5/2 e y=3/4

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