Sistema de Equações com Logaritmos

Se (xo,yo) é uma solução real do sistema:

[tex3]\begin{cases}\log_2(x+2y)-log_3(x-2y)=2\\x^2-4y^2=4\end{cases}[/tex3]

Então xo + yo é igual a:

(A) [tex3]\frac{7}{4}[/tex3]

(B) [tex3]\frac{9}{4}[/tex3]

(C) [tex3]\frac{11}{4}[/tex3]

(D) [tex3]\frac{13}{4}[/tex3]

(E) [tex3]\frac{17}{4}[/tex3]


Vamos mostrar duas maneiras diferentes de resolver esta questão.

1a Maneira – (Rápida, pouco cálculo, mas intuitiva)
(1) [tex3]\begin{cases}\log_2(x+2y)-log_3(x-2y)=2\\x^2-4y^2=4\end{cases}[/tex3]
(2)

Veja que a equação (2) é o produto da soma pela diferença, portanto, fatorando:

[tex3]x^2-4y^2=4\\(x-2y)\cdot(x+2y)=4[/tex3]

Olhando para esta multiplicação, vemos os fatores iguais aos logaritmandos da equação (1). Para encurtar o cálculo desta questão, vamos tentar alguns valores para (x-2y) e para (x+2y).

Para o produto de dois fatores resultar 4, existem infinitas respostas, mas as mais óbvias são as inteiras, ou seja:

[tex3]2\cdot2=4\\1\cdot4=4\\4\cdot1=4[/tex3]

Se dissermos que (x-2y)=2 e (x+2y)=2, isso não poderá ocorrer, pois ao substituir na equação (1), teríamos:

[tex3]\log_22-\log_32=2\\log_32=-1[/tex3]

Absurdo, portanto 2 x 2 não podemos ter. Se tentarmos (x-2y) = 1 e (x+2y) = 4, teremos:

[tex3]\log_24-\log_31=2\\2-0=2\\2=2[/tex3]

Ok, chegamos em uma verdade, portanto, descobrimos que
(x-2y) = 1
e
(x+2y) = 4

Estes valores satisfazem a equação (1) e a equação (2), portanto, podemos utilizá-los.

Agora temos um novo sistema bem mais fácil de resolver:

(1) [tex3]\begin{cases}x-2y=1\\x+2y=4\end{cases}[/tex3]
(2)

Somando as duas equações, temos:

[tex3]2x=5[/tex3]
[tex3]x=\frac{5}{2}[/tex3]

Substituindo este valor em (1), temos:

[tex3]\frac{5}{2}-2y=1[/tex3]
[tex3]y=\frac{3}{4}[/tex3]

Como o exercício pede a soma destes valores, temos:

(5/2) + (3/4) = 13/4
Resposta “D”

2a Maneira – (Demorada, muito cálculo)
(1) [tex3]\begin{cases}\log_2(x+2y)-\log_3(x-2y)=2\\x^2-4y^2=4\end{cases}[/tex3]
(2)

Fatorando a equação (2):

(1) [tex3]\begin{cases}\log_2(x+2y)-\log_3(x-2y)=2\\(x+2y)\cdot (x-2y)=4\end{cases}[/tex3]
(2)

Vamos isolar o valor (x-2y) na equação (2):

(1) [tex3]\begin{cases}\log_2(x+2y)-\log_3(x-2y)=2\\x-2y=\frac{4}{x+2y}\end{cases}[/tex3]
(2)

Agora vamos substituir este valor na equação (1):

[tex3]\log_2(x+2y)-\log_3\left(\frac{4}{x+2y}\right)=2[/tex3]

Vamos aplicar propriedades de logaritmo na divisão

[tex3]\log_2(x+2y)-[\log_34-\log_3{(x+2y)}]=2[/tex3]

Retirar os colchetes

[tex3]\log_2(x+2y)-\log_34+\log_3{(x+2y)}=2[/tex3]

Para um melhor cálculo, vamos colocar todos os logaritmos na base 2

[tex3]\log_2(x+2y)-\frac{\log_24}{\log_23}+\frac{\log_2{(x+2y)}}{\log_23}=2[/tex3]

Tirando o MMC e efetuando as somas de frações

[tex3]\log_2(x+2y)\cdot \log_23-\log_24+\log_2{(x+2y)}=2\cdot \log_23[/tex3]

[tex3]\log_2(x+2y)\cdot \log_23+\log_2{(x+2y)}=2\cdot \log_23+\log_24[/tex3]

No lado esquerdo, vamos colocar log2(x+2y) em evidência. No lado direito vamos aplicar propriedades de logaritmo

[tex3]\log_2(x+2y)\cdot [\log_23+1]=\log_23^2+\log_24[/tex3]

Vamos substituir o “1” por log22

[tex3]\log_2(x+2y)\cdot [\log_23+\log_22]=\log_23^2+\log_24[/tex3]

Aplicando propriedades de logaritmos.

[tex3]\log_2(x+2y)\cdot \log_2(3\cdot 2)=\log_2(9\cdot4)[/tex3]

[tex3]\log_2(x+2y)\cdot \log_26=\log_236[/tex3]

[tex3]\log_2(x+2y)=\frac{\log_236}{\log_26}[/tex3]

Podemos “voltar” com a propriedade de mudança de bases

[tex3]\log_2(x+2y)=\log_636[/tex3]

Sabemos que
log6(36) = 2

[tex3]\log_2(x+2y)=2[/tex3]

[tex3](x+2y)=2^2[/tex3]

Se x+2y = 4, pela equação (2) temos que x-2y = 1. Com isso temos um novo sisteminha como na primeira maneira de resolver.

(1) [tex3](x-2y)=1[/tex3]
(2) [tex3](x+2y)=4[/tex3]

Assim x=5/2 e y=3/4