Sistema de Equações com Exponenciais

No sistema de equações abaixo, qual o valor de x e y?

[tex3]\left\{4^x=16y\\2^{x+1}=4y\right.[/tex3]


Em uma primeira vista, este sistema parece ser difícil pois o “x” está no expoente e o “y” não. Isto não é uma coisa muito comum de acontecer em questões de vestibulares, por isso o espanto inicial!!!

Mas, veja bem!! Na segunda equação iremos isolar o valor de “y”:

[tex3]y=\frac{2^{x+1}}{4}[/tex3]

Agora, com este valor em mãos, vamos substituir na primeira equação:

[tex3]4^x=16y[/tex3]

[tex3]4^x=16\cdot\frac{2^{x+1}}{4}[/tex3]

Efetuando a divisão:

[tex3]4^x=4\cdot(2^{x+1})[/tex3]

Agora, vamos passar todos os valores para base 2:

[tex3]2^{2x}=2^2\cdot 2^{x+1}[/tex3]

Pela propriedade de mutiplicação de potências de mesma base, temos:

[tex3]2^{2x}=2^{2+x+1}[/tex3]


[tex3]2^{2x}=2^{3+x}[/tex3]

Cortanto as bases:

[tex3]2x=3+x\\2x-x=3\\x=3[/tex3]

Agora, para calcular o valor de “y”, vamos substituir este valor de x na primeira equação do enunciado:

[tex3]4^x=16y\\4^3=16x\\64=16y\\y=4[/tex3]