Sistema de Equações

A figura abaixo representa um raio emitido de um ponto A. Refletido pelos espelhos planos 1 e 2, nessa ordem, e captado por um receptor no ponto B. Os espelhos refletores têm 5 m de comprimento, são paralelos e a distância entre eles é de 2,8 m. Todos os ângulos entre o raio e os espelhos têm a mesma medida α.

Além disso, o ponto A está situado numa parede perpendicular aos espelhos refletores e a uma altura hdo espelho 1.

Se θ é a medida do menor ângulo entre a parede e o raio, DETERMINE a expressão de h em função de θ.

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Para agilizar os nossos cálculos, vamos dar nomes aos pontos envolvidos no desenho:

Veja, que o triângulo FAB é retângulo em A, portanto, os ângulos θ e α são complementares (somados resultam 90^o).
O ângulo MED também é reto, e como CED vale α, concluímos que o ângulo MEC só pode ser θ.

Veja, que o segmento AC vale 5 metros. Vamos dizer que o segmento AB vale “X”, portanto, o segmento BC irá valer 5-X. Como o triângulo BCE é isósceles, MC irá valer a metade de BC, ou seja, (5 – x)/2.

Com todos estes dados, podemos ver que os triângulos FAB e MEC são semelhantes (pois possuem os mesmos ângulos internos). Sendo o segmento ME igual à distância entre os espelhos, podemos fazer uma semelhança de triângulos. A base do MEC está para a base FAB assim como a altura do MEC está para a altura do FAB:

[tex3]\frac{\frac{5-x}{2}}{x}=\frac{2,8}{h}[/tex3]Efetuando os cálculos:

[tex3]\frac{5-x}{2}\cdot h=(2,8)\cdot x[/tex3]

Vamos substituir o 2,8 pelo seu valor fracionário, ou seja, [tex3]\frac{28}{10}[/tex3] que, simplificando, vale [tex3]\frac{14}{5}[/tex3].

[tex3]\frac{5-x}{2}\cdot h=\frac{14}{5}\cdot x[/tex3]

Passando o 2 para o outro lado multiplicando e o 5 também, temos:

[tex3](5-x)\cdot h\cdot 5=14x\cdot 2[/tex3]

[tex3]25h-5xh=28x[/tex3]

[tex3]25h=28x+5xh[/tex3]

Colocando o “x” em evidência do lado direito da igualdade:

[tex3]25h=x\cdot(28+5h)[/tex3]

Isolando o “x”:

[tex3]x=\frac{25h}{28+5h}[/tex3]Pronto. Agora, pegando o triângulo FAB com suas medidas indicadas:

Podemos calcular o valor da TANGENTE do ângulo θ. Lembrando, que tangente se calcula através de CATETO OPOSTO dividido por CATETO ADJACENTE, temos:

[tex3]\tan(\theta)=\frac{\frac{25h}{28+5h}}{h}[/tex3]Efetuando a divisão das frações:

[tex3]\tan(\theta)=\frac{25h}{28+5h}\cdot\frac{1}{h}[/tex3]

Agora podemos “cortar” o fator “h” que está em cima e em baixo da fração:

[tex3]\tan(\theta)=\frac{25}{28+5h}[/tex3]

Podemos “passar” o (28+5h) para o lado esquerdo multiplicando:

[tex3](28+5h)\cdot\tan(\theta)=25[/tex3]

[tex3]28+5h=\frac{25}{\tan(\theta)}[/tex3]

[tex3]5h=\frac{25}{\tan(\theta)}-28[/tex3]

[tex3]h=\frac{\frac{25}{\tan(\theta)}-28}{5}[/tex3]Efetuando a divisão entre as frações:

[tex3]h=\frac{5}{\tan(\theta)}-\frac{28}{5}[/tex3]

Este é o valor de “h” em função do ângulo θ.