Sistema de Equações

Um feirante separou um número inteiro de dúzias de mangas e de mamões e observou que para cada mamão havia três mangas.
Fez lotes com seis mangas e lotes com quatro mamões.
Vendeu cada lote por R$0,50, arrecadando R$135,00 na venda de todos os lotes.
O número de mamões que ele vendeu foi?

Estamos lidando com quantidade de mamões e de mangas. Por isso, vamos arbitrar incógnitas para cada um destes valores:

Número de Mamões

M
Número de Mangas

G

A frase  “para cada mamão havia três mangas”, nos indica que:

– quando tivermos 1 mamão teremos 3 mangas;
– quando tivermos 2 mamões teremos 6 mangas;
– quando tivermos 3 mamões teremos 9 mangas;
– e assim sucessivamente…

Note que o número de mangas é sempre o triplo do número de mamões. Matematicamente falando, temos a seguinte equação:

(1)         G = 3M

Guardamos esta equação como sendo a equação (1).

Parênteses
Ao pensar nesta equação, podemos ficar tentados a usar a intuição e escrever M = 3G, já que a frase “para cada mamão havia três mangas”, nos leva, ordenadamente, a este erro.

Mas, se você fizer uma simples substituição de valores, verá que está errada. Na equação M = 3G quando G=1 (uma manga), teremos M=3.1 ou M = 3 (três mamões) –  que está errado – já que está dizendo que haveria “3 mamões (M=3) para cada manga (G=1)”, contrariando o enunciado.

A segunda frase indica que o proprietário das frutas organizou-as em lotes com um número fixo de elementos. As mangas em lotes de 6 e os mamões em lotes de 4. O número de lotes para cada fruta, iremos descobrir através da divisão do número total de frutas pelo número de fruta em cada lote:

Número de lotes de Mamões [tex3]\frac{M}{4}[/tex3]
Número de lotes de Mangas [tex3]\frac{G}{6}[/tex3]

Sabendo que cada lote foi vendido por R$ 0,50, o valor recebido pela venda de todos os lotes de cada fruta foi o número de lotes multiplicado pelo valor de cada lote:

Valor recebido pela venda dos lotes de Mamões [tex3]\frac{M}{4}\cdot 0,50[/tex3]
Valor recebido pela venda dos lotes de Mangas [tex3]\frac{G}{6}\cdot 0,50[/tex3]

A soma destes dois valores deve resultar no valor total recebido pelo vendedor (R$135,00). Ou seja:

[tex3]\frac{M}{4}\cdot 0,50+\frac{G}{6}\cdot 0,50=135[/tex3]

Para facilitar os cálculos, vamos transformar o 0,5 na fração [tex3]\frac{1}{2}[/tex3].

[tex3]\frac{M}{4}\cdot \frac{1}{2}+\frac{G}{6}\cdot \frac{1}{2}=135[/tex3]

Efetuando os cálculos:

[tex3]\frac{M}{8}+\frac{G}{12}=135[/tex3]

Tirando o MMC (que vale 24):

[tex3]\frac{3M+2G=3240}{24}[/tex3]

Cortando o MMC:

(2)        3M + 2G = 3240

Esta é a nossa equação (2).

Juntando as duas equações, temos o seguinte sistema:

(1)        G = 3M
(2)        3M + 2G = 3240

Substituindo o valor de 3M da equação (1) na equação (2), temos:

G + 2G = 3240

3G = 3240

G = 3240/3

G = 1080

Substituindo o valor de G na equação (1), temos:

1080 = 3M

M = 1080/3

M = 360

Como o exercício pede somente o número de mamões, a resposta é 360!! Adorei esta questão 🙂