( IME – 2001 ) Considere a figura abaixo, onde AB=AD=1, BC=x, AC=y, DE=z e AE=w. Os ângulos DÊA BCA e BFA são retos.
a) Determine o comprimento de AF e BF em função de x, y, z e w
b) Determine a tangente do ângulo α em função de x, y, z e w
Para resolver o item “a”, devemos visualizar o triângulo abaixo:
Note que as medidas pedidas são os catetos do triângulo vermelho. Para achar estes valores, vamos aplicar as fórmulas do seno e do cosseno do ângulo [tex3](\beta + \theta )[/tex3]:
[tex3]\sen(\beta+\theta)=\frac{\overline{BF}}{1}\,\,\to\,\,\overline{BF}=\sen(\beta+\theta)[/tex3]
[tex3]\cos(\beta+\theta)=\frac{\overline{AF}}{1}\,\,\to\,\,\overline{AF}=cos(\beta+\theta)[/tex3]
Aplicando a fórmula do seno da soma de dois ângulos e do cosseno da soma de dois ângulos, temos:
(1) [tex3]\overline{BF}=\sen\beta\cdot\cos\theta+\sen\theta\cdot\cos\beta[/tex3]
(2) [tex3]\overline{AF}=\cos\theta\cdot\cos\beta-\sen\theta\cdot\sen\beta[/tex3]
Agora, para saber os valores dos cossenos e senos necessários, vamos olhar para outros triângulos:
Pelo triângulo laranja acima, podemos visualizar os valores das funções trigonométricas do ângulo β:
[tex3]\sen\beta=\frac{x}{1}\,\,\to\,\,\boxed{\sen\beta=x}[/tex3]
[tex3]\cos\beta=\frac{y}{1}\,\,\to\,\,\boxed{\cos\beta=y}[/tex3]
Agora, olhando para o triângulo verde abaixo:
Podemos calcular as funções trigonométricas do ângulo θ :
[tex3]\sen\theta=\frac{z}{1}\,\,\to\,\,\boxed{\sen\theta=z}[/tex3]
[tex3]\cos\theta=\frac{w}{1}\,\,\to\,\,\boxed{\cos\theta=w}[/tex3]
Agora, sabendo todos os valores necessários, podemos voltar para as equações (1) e (2) e substituir:
De (1): [tex3]\overline{BF}=\sen\beta\cdot\cos\theta+\sen\theta\cdot\cos\beta\,\,\to\,\,\boxed{\overline{BF}=xw+yz}[/tex3]
De (2): [tex3]\overline{AF}=\cos\theta\cdot\cos\beta-\sen\theta\cdot\sen\beta\,\,\to\,\,\boxed{\overline{AF}=wy-zx}[/tex3]
Estas são as respostas para o item “a” do exercício.
O item “b” agora fica fácil, olhando o triângulo vermelho da primeira figura, vemos que:
[tex3]\tan\alpha=\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}[/tex3]
Substituindo pelos valores encontrados no item “a”:
[tex3]\tan\alpha=\frac{wy-zx}{xw+yz}[/tex3]
Esta é a resposta para o item “b”.