( IME – 2001 ) Considere a figura abaixo, onde AB=AD=1, BC=x, AC=y, DE=z e AE=w. Os ângulos DÊA BCA e BFA são retos.
a) Determine o comprimento de AF e BF em função de x, y, z e w
b) Determine a tangente do ângulo α em função de x, y, z e w
Para resolver o item “a”, devemos visualizar o triângulo abaixo:
Note que as medidas pedidas são os catetos do triângulo vermelho. Para achar estes valores, vamos aplicar as fórmulas do seno e do cosseno do ângulo (β + θ):
[tex3]\cos(\beta+\theta)=\frac{\overline{AF}}{1}[/tex3]
[tex3]\overline{AF}=cos(\beta+\theta)[/tex3]
Aplicando a fórmula do seno da soma de dois ângulos e do cosseno da soma de dois ângulos, temos:
(1) [tex3]\overline{BF}=\sin\beta\cdot\cos\theta+\sin\theta\cdot\sin\beta[/tex3]
(2) [tex3]\overline{AF}=\cos\theta\cdot\cos\beta-\sin\theta\cdot\sin\beta[/tex3]
Agora, para saber os valores dos cossenos e senos necessários, vamos olhar para outros triângulos:
Pelo triângulo acima laranja acima, podemos visualizar os valores das funções trigonométricas do ângulo β:
Agora, olhando para o triângulo verde abaixo:
Podemos calcular as funções trigonométricas do ângulo θ :
Agora, sabendo todos os valores necessários, podemos voltar para as equações (1) e (2) e substituir:
Estas são as respostas para o item “a” do exercício.
O item “b” agora fica fácil, olhando o triângulo vermelho da primeira figura, vemos que:
[tex3]\tan\alpha=\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}[/tex3]
Substituindo pelos valores encontrados no item “a”:
[tex3]\tan\alpha=\frac{wy-zx}{xw+yz}[/tex3]
Esta é a resposta para o item “b”.