Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

( IME – 2001 ) Considere a figura abaixo, onde AB=AD=1, BC=x, AC=y, DE=z e AE=w. Os ângulos DÊA BCA e BFA são retos.

a) Determine o comprimento de AF e BF em função de x, y, z e w
b) Determine a tangente do ângulo α em função de x, y, z e w

ime0101.gif (2993 bytes)


Para resolver o item “a”, devemos visualizar o triângulo abaixo:

ime0102.gif (3276 bytes)

Note que as medidas pedidas são os catetos do triângulo vermelho. Para achar estes valores, vamos aplicar as fórmulas do seno e do cosseno do ângulo (β + θ):

[tex3]\sin(\beta+\theta)=\frac{\overline{BF}}{1}[/tex3]
[tex3]\overline{BF}=\sin(\beta+\theta)[/tex3]

[tex3]\cos(\beta+\theta)=\frac{\overline{AF}}{1}[/tex3]

[tex3]\overline{AF}=cos(\beta+\theta)[/tex3]

Aplicando a fórmula do seno da soma de dois ângulos e do cosseno da soma de dois ângulos, temos:

(1)      [tex3]\overline{BF}=\sin\beta\cdot\cos\theta+\sin\theta\cdot\sin\beta[/tex3]

(2)      [tex3]\overline{AF}=\cos\theta\cdot\cos\beta-\sin\theta\cdot\sin\beta[/tex3]

Agora, para saber os valores dos cossenos e senos necessários, vamos olhar para outros triângulos:

ime0103.gif (4713 bytes)

Pelo triângulo acima laranja acima, podemos visualizar os valores das funções trigonométricas do ângulo β:

[tex3]\sin\beta=\frac{x}{1}[/tex3]
[tex3]\sin\beta=x[/tex3]

[tex3]\cos\beta=\frac{y}{1}[/tex3]
[tex3]\cos\beta=y[/tex3]

Agora, olhando para o triângulo verde abaixo:

ime0104.gif (4630 bytes)

Podemos calcular as funções trigonométricas do ângulo θ :

[tex3]\sin\theta=\frac{z}{1}[/tex3]
[tex3]\sin\theta=z[/tex3]

[tex3]\cos\theta=\frac{w}{1}[/tex3]
[tex3]\cos\theta=w[/tex3]

Agora, sabendo todos os valores necessários, podemos voltar para as equações (1) e (2) e substituir:

(1)   [tex3]\overline{BF}=\sin\beta\cdot\cos\theta+\sin\theta\cdot\sin\beta[/tex3][tex3]\overline{BF}=xw+yz[/tex3]
 

[tex3]\overline{AF}=\cos\theta\cdot\cos\beta-\sin\theta\cdot\sin\beta[/tex3]
[tex3]\overline{AF}=wy-zx[/tex3]

 

Estas são as respostas para o item “a” do exercício.

O item “b” agora fica fácil, olhando o triângulo vermelho da primeira figura, vemos que:

[tex3]\tan\alpha=\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}[/tex3]

Substituindo pelos valores encontrados no item “a”:

[tex3]\tan\alpha=\frac{wy-zx}{xw+yz}[/tex3]

Esta é a resposta para o item “b”.