Razão entre Números e Sistema de Equações

Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Nestas condições, a terceira parte vale?


Iremos dividir o número 570 em três partes, como não sabemos se elas serão iguais ou não, vamos dar um nome para cada uma delas. Diremos que a primeira parte é “X”, a segunda parte é “Y” e a terceira é “Z”.

A primeira coisa que podemos ver é que a soma destas três partes irá resultar no inteiro, ou seja:

(1)        

Guardamos esta equação como sendo a equação (1).

Analisando o resto do enunciado, temos: “a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5”.Matematicamente falando, temos a seguinte razão:

Efetuando alguns cálculos, temos:

(2)      

Guardamos esta equação como sendo a equação (2).

A última frase, “a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12“, matematicamente falando:

[tex3]\frac{Y}{Z}=\frac{6}{12}[/tex3]

Simplificando a fração:

[tex3]\frac{Y}{Z}=\frac{1}{2}[/tex3]

Efetuando alguns cálculos:

(3)      [tex3]2Y=Z[/tex3]

Com as três equações, temos o seguinte sistema:

(1) [tex3]X+Y+Z=570[/tex3]

(2) [tex3]5X=4Y[/tex3]

(3) [tex3]2Y=Z[/tex3]

O exercício pede o valor da terceira parte, ou seja, de “Z”.

Isolando o valor de “X” na primeira equação, temos:

[tex3]X=570-Y-Z[/tex3]

Substituindo este valor na segunda equação:

[tex3]\begin{array}{c}5\cdot(570-Y-Z)=4Y\\2850-5Y-5Z=4Y\\2850=9Y+5Z\end{array}[/tex3]

Isolando o valor de “Y”:

[tex3]Y=\frac{2850-5Z}{9}[/tex3]

Agora, para finalizar os cálculos, substituimos este valor na equação 3.

[tex3]2\cdot\frac{2850-5Z}{9}=Z[/tex3]

Vamos “levar” o 9 multiplicando para o outro lado da equação:

[tex3]2\cdot(2850-5Z)=9Z[/tex3]

[tex3]5700-10Z=9Z[/tex3]

[tex3]19Z=5700[/tex3]

[tex3]Z=300[/tex3]