Radiciação

Qual o valor de “x” na equação [tex3]\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+…}}}}=4[/tex3]


Em uma primeira visualização, esta questão parece muito assustadora. Para resolvê-la, devemos fazer uso de uma tática bem legal, que podemos chamar de “Tática recursiva”, fazendo com que fique barbadinha de achar o resultado.

Vamos ler a parte esquerda da equação da seguinte forma: “Raiz de x mais raiz de x mais raiz de x…, infinitas vezes”. E elevar ao quadrado os dois lados da equação:

[tex3]\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+…}}}}\right)^2=(4)^2[/tex3]

Esta operação irá “cancelar” a primeira raiz quadrada do lado esquerdo:

[tex3]x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+…}}}=16[/tex3]

Podemos dizer que esta equação é “equivalente” à primeira, pois apenas elevamos ao quadrado os dois lados da igualdade.

Também podemos, ler esta nova equação da seguinte forma: x mais “raiz de x mais raiz de x mais raiz de x mais raiz de x… infinitas vezes” é igual a dezesseis.

Note que do lado esquerdo da igualdade temos as infinitas raízes que apareciam na equação do enunciado. E nele dizia que estas raízes valem 4. Portanto, podemos substituir e ter a seguinte equação:

[tex3]x+\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+…}}}}_{x+4=16}=16[/tex3]

[tex3]x=16-4[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=12}}[/tex3]