Progressão Geométrica – Termo Geral

Sabendo-se que a expressão do termo geral de uma progressão geométrica é definida por [tex3]a_n=3\cdot 2^n[/tex3], então a soma dos 20 primeiros termos dessa progressão é:


Quando temos uma expressão para o termo geral de uma Progressão, tanto PA quanto PG, o que podemos fazer é substituir o valor de n e achar seus termos. Veja só:

Se substituirmos n por 1, iremos achar o primeiro termos, ou seja, a1.

[tex3]n=1\\a_1=3\cdot 2^1\\a_1=6[/tex3]

Agora, substituindo o n por 2, acharemos o segundo termo, ou seja, a2.

[tex3]n=2\\a_2=3\cdot 2^2\\a_2=12[/tex3]

Portanto, a nossa Progressão tem a seguinte cara:

[tex3]\textrm{PG+}=\{6,+12,+…\}[/tex3]

Como sabemos que se trata de uma PG, a razão é igual ao segundo termo dividido pelo primeiro, ou seja:

[tex3]q=\frac{a_2}{a_1}\\q=\frac{12}{6}\\q=2[/tex3]

Agora é só aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG, que é a seguinte:

[tex3]S_n=\frac{a_1\cdot\left(q^n-1\right)}{q-1}[/tex3]

Vamos agora colocar nossos valores.

[tex3]S_{20}=\frac{6\cdot\left(2^{20}-1\right)}{2-1}[/tex3]

[tex3]S_{20}=6\cdot\left(2^{20}-1\right)[/tex3]

De repente essa alternativa tenha dentre as opções. Mas pode ser que o cara que fez a questão tenha expandido a potênica.

Então, devemos calcular este numerozão!

Para calculá-lo vamos aplicar uma propriedade de potenciação que facilitará. Veja só:

[tex3]S_{20}=6\cdot\left(2^{20}-1\right)\\S_{20}=6\cdot\left(2^{10}\cdot 2^{10}-1\right)\\S_{20}=6\cdot\left(1024\cdot 1024-1\right)\\S_{20}=6\cdot\left(1048576-1\right)\\S_{20}=6\cdot\left(1048575\right)\\\Large{S_{20}=6291450}[/tex3]