Progressão Aritmética

Uma dívida no valor de R$ 4200,00 deve ser paga em 24 prestações mensais em progressão aritmética (P.A). Após o pagamento de 18 prestações, há um saldo devedor de R$ 1590,00. Qual o valor da primeira prestação?


Nesta situação não estamos lidando com JUROS nas prestações, pois o exercício não menciona nada a este respeito. Portanto, iremos analisar as 24 prestações como sendo os 4200 reais distribuidos sem alterar o montante final, de acordo com a P.A.

Como o total da dívida é de R$4200,00, podemos dizer que a soma das 24 parcelas (cada parcela é um elemento da P.A.) resulta 4200. Portanto, utilizando os símbolos de PA temos:

S24 = 4200

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma P.A., temos:

[tex3]S_{24}=\frac{a_1+a_{21}\cdot 24}{2}[/tex3]

[tex3]4200=(a_1+a_{21})\cdot 12[/tex3]

Aplicando a fórmula do termo geral de uma PA no termo a24:

4200 = (a1 + a1 + 23.R).12

Sendo que “R” é a razão da PA desta questão. Efetuando algumas operações:

[tex3]4200=(a_1+a_1+23\cdot R)\cdot 12[/tex3]

350 = 2.a1 + 23.R        (1)

Vamos chamar esta equação de (1) e guardá-la.

Analisando a outra frase do enunciado: “Após o pagamento de 18 prestaçoes, há um saldo devedor de R$ 1590,00”, podemos concluir que em 18 prestações pagamos 4200-1590, ou seja, 18 prestações já liquidaram 2610 reais da dívida. Portanto, podemos dizer que:

S18 = 2610

Substituindo pela fórmula da soma:

[tex3]S_{18}=\frac{(a_1+a_{18})\cdot 18}{2}[/tex3]

[tex3]2610=(a_1+a_{18})\cdot 9[/tex3]

[tex3]\frac{2610}{9}=(a_1+a_{18})[/tex3]

Substituindo o a18 pela fórmula do termo geral:

[tex3]290=a_1+a_1+17R[/tex3]

[tex3]290=2a_1+17R[/tex3]        (2)

Esta é a equação (2). Juntando (1) e (2), temos o sistema de equações:

(1) [tex3]350=2a_1+23R[/tex3]
(2) [tex3]290=2a_1+17R[/tex3]

Efetuando a subtração (1)(2):

[tex3]350-290=2a_1-2a_1+23R-17R[/tex3]

[tex3]60=6R[/tex3]

[tex3]R=10[/tex3]

Agora, substituindo o valor de R na equação (1):

[tex3]350=2a_1+23\cdot 10[/tex3]

[tex3]350=2a_1+230[/tex3]

[tex3]350-230=2a_1[/tex3]

[tex3]120=2a_1[/tex3]

[tex3]a_1=60[/tex3]

Então, a primeira parcela será de R$60,00.