Progressão Aritmética com Logaritmos

( UFBA ) Considere a P.A. de razão “r” , dada por (log4 , log12 , log36 , … ). Sendo a22 = k, determine

[tex3]\frac{10^{k+r}}{3^{20}}[/tex3]


Lembrando que a razão de uma P.A. pode ser determinada pela subtração do segundo pelo primeiro termo, temos:

[tex3]r=\log 12-\log 4[/tex3]

Aplicando a propriedade de logaritmos:

[tex3]r=\log \left(\frac{12}{4}\right)\\r=\log 3[/tex3]

Pela fórmula do termo geral de uma P.A., temos:

[tex3]a_{22}=a_1+21\cdot r[/tex3]

[tex3]a_{22}=\log 4+21\cdot\log 3[/tex3]

Novamente propriedades de logaritmo:

[tex3]k=a_{22}=\log 4+\log 3^{21}[/tex3]

[tex3]k=\log\left(4\cdot3^{21}\right)[/tex3]

O exercício pede [tex3]\frac{10^{k+r}}{3^{20}}[/tex3] então, substituindo, temos:

[tex3]\frac{10^{(\log\left(4\cdot3^{21}\right)+\log 3)}}{3^{20}}[/tex3]

Aplicando as propriedades de logaritmo no expoente:

[tex3]\frac{10^{\log\left(4\cdot3^{21}\cdot 3\right)}}{3^{20}}[/tex3]

Agora podemos cortar a base 10 (outra propriedade de logaritmos):

[tex3]\frac{4\cdot3^{21}\cdot 3}{3^{20}}[/tex3]

Efetuando a divisão das potências de 3:

[tex3]4\cdot 3 \cdot 3=\Large{36}[/tex3]

Esta é a resposta para este exercício.