Polinômios

( IME – 2001 ) Determine todos os números inteiros m e n para os quais o polinômio [tex3]2x^m+a^{3n}x^{(m-3n)}-a^m[/tex3] é divisível por [tex3]x+a[/tex3].


A divisão que o exercício quer que exista é:

[tex3]\frac{2x^m+a^{3n}x^{(m-3n)}-a^m}{x+a}[/tex3]

Para que esta divisão seja exata, o polinômio de cima deve, OBRIGATORIAMENTE, possuir TODAS as raízes do polinômio de baixo.

Raiz de um polinômio é o valor de [tex3]x[/tex3] que, quando substituído na equação, resulta zero. Portanto, a raiz do polinômio de baixo é:

[tex3]x + a = 0[/tex3]

[tex3]x = -a[/tex3]

Sendo assim, o polinômio de cima deve ter uma raiz igual a [tex3]-a[/tex3]. Como sabemos, ao substituir o valor de [tex3]x[/tex3] do polinômio por sua raiz, o resultado é zero. Ou seja, efetuando a substituição [tex3]x=-a[/tex3]:

[tex3]2(-a)^m+a^{3n}(-a)^{(m-3n)}-a^m[/tex3]

Para facilitar os cálculos, vamos substituir o [tex3]-a[/tex3] por [tex3](-1) \cdot a[/tex3]:

[tex3]2[(-1) \cdot a]^m+a^{3n}[(-1) \cdot a]^{(m-3n)}-a^m[/tex3]

Aplicando a propriedade de potenciação que diz: [tex3](w \cdot y)^b = w^b \cdot y^b[/tex3], temos:

[tex3]2 \cdot  (-1)^m \cdot a^m + a^{3n} \cdot (-1)^{m-3n} \cdot \color{red}{a^{m-3n}}\color{black} – a^m = 0[/tex3]

No termo em vermelho da equação acima, vamos utilizar a seguinte propriedade de potenciação:

[tex3]b^{x-y}=\frac{b^x}{b^y}[/tex3]

Aplicando a propriedade no termo em vermelho:

[tex3]2 \cdot  (-1)^m \cdot a^m + \color{green}a^{3n} \color{black}\cdot (-1)^{m-3n} \cdot \frac{a^{m}}{\color{green}a^{3n}}\color{black} – a^m = 0[/tex3]

Note que podemos cortar os termos [tex3]a^{3n}[/tex3] (em verde na equação acima) da segunda parcela:

[tex3]2 \cdot (-1)^m \cdot a^m + (-1)^{m-3n} \cdot a^m – a^m = 0[/tex3]

Vamos passar a parcela [tex3]-a^m[/tex3] para o outro lado da igualdade:

[tex3]2 \cdot (-1)^m \cdot a^m + (-1)^{m-3n} \cdot a^m = a^m[/tex3]

Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar o termo [tex3]a^m[/tex3] em evidência:

[tex3]a^m \cdot [2 \cdot (-1)^m + (-1)^{m-3n}] = a^m[/tex3]

Agora podemos cortar o termo [tex3]a^m[/tex3] dos dois lados da igualdade:

[tex3]2 \cdot (-1)^m + (-1)^{m-3n} = 1[/tex3]

Note que, do lado esquerdo da igualdade acima, as únicas combinações que poderemos ter são:

[tex3]\overbrace{2 \cdot (-1)^m}^{2\text{ ou }-2} + \underbrace{(-1)^{m-3n}}_{1\text{ ou }-1} = 1[/tex3]

Pois os termos [tex3](-1)[/tex3] elevados a qualquer expoente irão resultar somente [tex3]1[/tex3] ou [tex3]-1[/tex3].

Assim, a única combinação do lado esquerdo da equação que irá resultar em [tex3]1[/tex3] (que é o lado direito da equação) é a combinação [tex3] 2 – 1[/tex3]. Sendo assim, podemos escrever:

[tex3]\begin{cases}2 \cdot (-1)^m = 2\,\,\,\,\,&\color{red}\text{(1)}\\(-1)^{m-3n} = -1&\color{red}\text{(2)}\end{cases}[/tex3]

Vamos desenvolver a equação (1):

[tex3]2 \cdot (-1)^m = 2\,\,\to\,\,\boxed{(-1)^m = 1}[/tex3]

Ou seja, isto só irá acontecer quando o [tex3]m[/tex3] for um número PAR.

Desenvolvendo a equação (2):

[tex3](-1)^{m-3n} = -1[/tex3]

Isto só irá acontecer quando [tex3]m-3n[/tex3] for um número ÍMPAR. Como [tex3]m[/tex3] já sabemos que é PAR, para [tex3]m-3n[/tex3] resultar ímpar, [tex3]3n[/tex3] deve ser ímpar também (pois um número par subtraído de um número ímpar resulta um número ímpar).

Para [tex3]3n[/tex3] ser um número ímpar, devemos ter [tex3]n[/tex3] também ÍMPAR (pois um número ímpar, no caso [tex3]3[/tex3], multiplicado por um número ímpar, resulta um número ímpar).

Então, a resposta final é: [tex3]m[/tex3] deve ser qualquer número PAR e [tex3]n[/tex3] deve ser qualquer número ÍMPAR.