Polinômios – Soma e Produto de raízes

Se os números -3, a, b são as raízes da equação [tex3]x^3+5x^2-2x-24=0[/tex3], então o valor de [tex3]a+b[/tex3] é

    (A) -6
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) 6

Para este exercício, devemos saber que a soma de TODAS raízes de um polinômio é SEMPRE dada pela fórmula:

[tex3]\textrm{Soma}=\frac{-b}{a}[/tex3]

Onde “b” é o coeficiente do termo de grau uma unidade menor do que o grau do polinômio (no nosso caso b=5), e “a” é o coeficiente do termo de maior grau (no nosso caso é a=1).

Portanto, a soma de todas as raízes do polinômio do exercício será:

[tex3]\textrm{Soma}=\frac{-5}{1}[/tex3]

[tex3]\textrm{Soma}=-5[/tex3]

O exercício diz que as raízes são -3, a, b. Acabamos de descobrir que a soma destas três raízes é -5, então:

-3 + a + b = -5

a + b = -5 +3

a + b = -2

Resposta correta, “B”


A soma de duas raízes da equação [tex3]x^3-10x+m=0[/tex3] é 4. O valor de m é, então, igual a:

    (A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 24
(E) 30

Sendo um polinômio do 3o grau, sabemos que este terá exatamente três raízes. Podemos dizer que ela são W, Y, Z.

O exercício diz que a soma de duas é 4, ou seja:

W + Y = 4

Vamos utilizar a fórmula da soma das raízes de um polinômio. Mas antes devemos lembrar que o termo “b” deste polinômio é zero, pois é o coeficiente do termo x2 e na equação não temos x2. Então:

[tex3]\textrm{Soma}=\frac{-0}{1}[/tex3]

[tex3]\textrm{Soma}=0[/tex3]

Esta é a soma das três raízes, ou seja:

W + Y + Z = 0

Utilizando o valor da soma W + Y, temos:

4 + Z = 0
Z = -4

Portanto, sabendo que uma das raízes do polinômio é -4, podemos substituir o “x” do polinômio por -4 e igualar a zero (pois as raízes de um polinômio são os valores de “x” que resultam zero!). Substituindo:

(-4)3-10.(-4)+m=0

-64 +40 +m = 0

-24 + m = 0

m = 24

Resposta certa, letra “D”.