Polinômios

( IME – 2002 )
(a)
Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] de quarto grau para que [tex3]P(x) = P(1-x)[/tex3].

(b) Considere o polinômio [tex3]P(x) = 16x^4 – 32x^3 – 56x^2 + 72x + 77[/tex3]. Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima.


Resolução item (a)

Sendo [tex3]P(x)[/tex3] do quarto grau, podemos escrever:

[tex3]P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex3]

Onde [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3], [tex3]c[/tex3], [tex3]d[/tex3] e [tex3]e[/tex3] são os coeficientes do polinômio. Sendo assim, podemos escrever [tex3]P(1 – x)[/tex3]:

[tex3]P(1-x)=a(1-x)^4+b(1-x)^3+c(1-x)^2+d(1-x)+e[/tex3]

Resolvendo as potências:

[tex3]P(1-x)=a(1-4x+6x^2-4x^3+x^4)+b(1-3x+3x^2-x^3)+c(1-2x+x^2)+d(1-x)+e[/tex3]

Efetuando as multiplicações e arrumando os termos:

[tex3]P(1-x)=ax^4+(-4a-b)x^3+(6a+3b+c)x^2+(-4a-3b-2c-d)x+a+b+c+d+e[/tex3]

Para termos [tex3]P(x)=P(1-x)[/tex3], os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois polinômios devem ser iguais. Portanto:

Coeficientes de [tex3]x^3[/tex3]:

[tex3]-4a – b = b\,\,\to\,\,\boxed{b = -2a}[/tex3]
(primeira relação entre os coeficientes)

Coeficientes de [tex3]x^2[/tex3]:

[tex3]6a + 3b + c = c\,\,\,\to\,\,\,\boxed{b = -2a}[/tex3]
(Esta relação não nos trouxe nada de novo)

Coeficientes de [tex3]x[/tex3]:

[tex3]-4a – 3b – 2c – d = d\,\,\,\to\,\,\,\boxed{4a + 3b + 2c = -2d}[/tex3]
(segunda relação entre os coeficientes)

Termo Independente:

[tex3]a + b + c + d + e = e\,\,\,\to\,\,\,\boxed{a + b + c + d = 0}[/tex3]
(terceira relação entre os coeficientes)

Portanto, uma possível resposta para o item (a) seria:

[tex3]\begin{cases}b = -2a\\4a + 3b + 2c = -2d\\a + b + c + d = 0\end{cases}[/tex3]

Como o coeficiente [tex3]e[/tex3] não aparece em nenhuma condição, pode ser qualquer valor.

P.S.: Foi dito “uma possível resposta”, pois se você combinar tais equações (isolar valores e substituir), poderá achar relações equivalentes mas com aparência diferente.


Resolução item (b):

[tex3]P(x) = 16x^4 – 32x^3 – 56x^2 + 72x + 77[/tex3]

Vamos dizer que [tex3]P(x)[/tex3] possui raízes [tex3]r[/tex3] e [tex3]w[/tex3]. Portanto, [tex3]P(r)=0 e P(w)=0[/tex3].

Como o enunciado nos diz que [tex3]P(x)=P(1-x)[/tex3], temos que [tex3]P(r)=P(1-r)[/tex3], sendo [tex3]P(r)=0[/tex3] concluímos que [tex3]P(1-r)=0[/tex3].

Então [tex3](1-r)[/tex3] também é raiz de [tex3]P(x)[/tex3].

Pelo mesmo raciocínio temos [tex3]P(1-w)=0[/tex3]. Então [tex3](1-w)[/tex3] também é raiz de [tex3]P(x)[/tex3].

Raízes de [tex3]P(x)[/tex3]: [tex3]r[/tex3], [tex3]1-r[/tex3], [tex3]w[/tex3] e [tex3]1-w[/tex3].

Agora o nosso objetivo na questão é descobrir o valor de [tex3]r[/tex3] e [tex3]w[/tex3], pois daí saberemos o valor numérico de cada raiz (que é o que está sendo pedido). Utilizando as “Relações de Girard” para o produto das raízes e para a soma dos produtos das raízes três a três, teremos:

Produto das raízes: 

[tex3]r\cdot(1-r)\cdot w\cdot(1-w)=\frac{77}{16}[/tex3]

Efetuando as multiplicações:

[tex3]rw-rw^2-r^2w+r^2w^2=\frac{77}{16}[/tex3]

Colocando em evidência [tex3]r[/tex3] nos dois primeiros termos e [tex3]r^2[/tex3] nos dois últimos:

[tex3]r\cdot(w-w^2)-r^2\cdot(w-w^2)=\frac{77}{16}[/tex3]

Colocando em evidência o termo [tex3](w – w^2)[/tex3]:

[tex3]\boxed{(w-w^2)\cdot(r-r^2)=\frac{77}{17}}\hspace{20pt}\color{red}\text{(1)}[/tex3]

Soma dos produtos das raízes três a três:

[tex3]r\cdot(1-r)\cdot w+r\cdot(1-r)\cdot(1-w)+r\cdot w\cdot (1-w)+(1-r)\cdot w\cdot (1-w)=\frac{9}{2}[/tex3]

Efetuando as “continhas”:

[tex3]rw-r^2w+r-rw-r^2+r^2w+rw-rw^2+w-w^2-rw+rw^2=\frac{9}{2}[/tex3]

Cortando os termos semelhantes:

[tex3]\boxed{r-r^2+w-w^2=-\frac{9}{2}}\hspace{20pt}\color{red}\text{(2)}[/tex3]

Com as equações (1) e (2) temos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}(w-w^2)\cdot(r-r^2)=\frac{77}{17}\hspace{20pt}\color{red}\text{(1)}\\r-r^2+w-w^2=-\frac{9}{2}\hspace{20pt}\color{red}\text{(2)}\end{cases}[/tex3]

Se desenvolvermos este sistema do jeito usual (isolar e substituir), retrocederemos, iremos voltar para o polinômio [tex3]P(x)[/tex3], ponto inicial de nossa trajetória.

Para contornar esta dificuldade, vamos fazer uma jogada de MESTRE agora.

Criaremos duas incógnitas auxiliares:

[tex3]\boxed{(r-r^2)=F}\hspace{10pt}\color{red}\text{(3)}[/tex3]           e           [tex3]\boxed{(w-w^2)=G}\hspace{10pt}\color{red}\text{(4)}[/tex3]

Com estas novas incógnitas, podemos rescrever o sistema anterior:

[tex3]\begin{cases}G\cdot F=\frac{77}{16}\\G+F=-\frac{9}{2}\end{cases}[/tex3]

E agora passamos a ter um simples sistema de soma e produto que pode ser resolvido da maneira que você bem entender. Bom, se você chegou até este ponto, a resolução deste sistema não lhe é mistério. Resolvendo acharemos:

[tex3]G=-\frac{7}{4}[/tex3]

[tex3]F=-\frac{11}{4}[/tex3]

Agora, utilizando estes valores na equação (3):

[tex3]r-r^2=-\frac{11}{4}[/tex3]

[tex3]4r – 4r^2 = -11[/tex3]

[tex3]4r^2 – 4r – 11 = 0[/tex3]

Aplicando Báscara, teremos:

[tex3]\boxed{r’=\frac{1+2\sqrt 3}{2}}\hspace{20pt}\boxed{r”=\frac{1-2\sqrt 3}{2}}[/tex3]

Neste ponto você deve estar se perguntando: “Qual valor de [tex3]r[/tex3] irei usar?”. Podes usar qualquer um. Se você escolher o primeiro, então o segundo será o [tex3](1-r)[/tex3], e vice-versa. Portanto, estes dois valores são raízes de [tex3]P(x)[/tex3].

E utilizando os valores de [tex3]G[/tex3] e [tex3]F[/tex3] na equação (4):

[tex3]4w – 4w^2 = -7[/tex3]

[tex3]4w^2 – 4w – 7 = 0[/tex3]

Aplicando Báscara, teremos:

[tex3]\boxed{w’=\frac{1+2\sqrt 2}{2}}\hspace{20pt}\boxed{w”=\frac{1-2\sqrt 2}{2}}[/tex3]

Idem ao raciocínio anterior, estes dois valores são raízes de [tex3]P(x)[/tex3].

As respostas para o item “b” são as raízes encontradas acima 🙂