Polinômios

( IME – 2002 )
(a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio P(x) de quarto grau para que P(x) = P(1-x).

(b) Considere o polinômio P(x) = 16x4 – 32x3 – 56x2 + 72x + 77. Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima.


Resolução item (a)

Sendo P(x) do quarto grau, podemos escrever:

[tex3]P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex3]

Onde “a”, “b”, “c”, “d” e “e” são os coeficientes do polinômio. Sendo assim, podemos escrever P(1 – x):

[tex3]P(1-x)=a(1-x)^4+b(1-x)^3+c(1-x)^2+d(1-x)+e[/tex3]

Resolvendo as potências:

[tex3]P(1-x)=a(1-4x+6x^2-4x^3+x^4)+b(1-3x+3x^2-x^3)+c(1-2x+x^2)+d(1-x)+e[/tex3]

Efetuando as multiplicações e arrumando os termos:

[tex3]P(1-x)=ax^4+(-4a-b)x^3+(6a+3b+c)x^2+(-4a-3b-2c-d)x+a+b+c+d+e[/tex3]

Para termos [tex3]P(x)=P(1-x)[/tex3], os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois polinômios devem ser iguais. Portanto:

Coeficientes de x3.

-4a – b = b

-4a = 2b

b = -2a
(primeira relação entre os coeficientes)

Coeficientes de x2.

6a + 3b + c = c

6a = -3b

b = -2a
(Esta relação não nos trouxe nada de novo)

Coeficientes de x.

-4a – 3b – 2c – d = d

4a + 3b + 2c = -2d

(segunda relação entre os coeficientes)

 

Termos independentes.

a + b + c + d + e = e

a + b + c + d = 0
(terceira relação entre os coeficientes)

Portanto, uma possível resposta para o item (a) seria:

b = -2a

4a + 3b + 2c = -2d

a + b + c + d = 0

Como o coeficiente “e” não aparece em nenhuma condição, pode ser qualquer valor.

P.S.: Foi dito “uma possível resposta”, pois se você combinar tais equações (isolar valores e substituir), poderá achar relações equivalentes mas com aparência diferente.


Resolução item (b): P(x) = 16x4 – 32x3 – 56x2 + 72x + 77

Vamos dizer que P(x) possui raízes “r” e “w”. Portanto, P(r)=0 e P(w)=0.

Como o enunciado nos diz que P(x)=P(1-x), temos que P(r)=P(1-r), sendo P(r)=0 concluímos que P(1-r)=0.

Então (1-r) também é raiz de P(x).

Pelo mesmo raciocínio temos P(1-w)=0. Então (1-w) também é raiz de P(x).

raízes de P(x)

r

1-r

w

1- w

Agora o nosso objetivo na questão é descobrir o valor de “r” e “w”, pois daí saberemos o valor numérico de cada raiz (que é o que está sendo pedido). Utilizando as “Relações de Girard” para o produto das raízes e para a soma dos produtos das raízes três a três, teremos:

Produto das raízes
[tex3]r\cdot(1-r)\cdot w\cdot(1-w)=\frac{77}{16}[/tex3]
Efetuando as multiplicações:

[tex3]rw-rw^2-r^2w+r^2w^2=\frac{77}{16}[/tex3]
Colocando em evidência “r” nos dois primeiros termos e “r2” nos dois últimos:

[tex3]r\cdot(w-w^2)-r^2\cdot(w-w^2)=\frac{77}{16}[/tex3]

Colocando em evidência o termo (w – w2):

(1)           

[tex3](w-w^2)\cdot(r-r^2)=\frac{77}{17}[/tex3]

Soma dos produtos das raízes três a três

[tex3]r\cdot(1-r)\cdot w+r\cdot(1-r)\cdot(1-w)+r\cdot w\cdot(1-w)+(1-r)\cdot +w\cdot(1-w)=\frac{9}{2}[/tex3]

Efetuando as “continhas”:

[tex3]rw-r^2w+r-rw-r^2+r^2w+rw-rw^2+w-w^2-rw+rw^2=\frac{9}{2}[/tex3]
Cortando os termos semelhantes:

(2)            [tex3]r-r^2+w-w^2=-\frac{9}{2}[/tex3]

Com as equações (1) e (2) teremos o seguinte sistema:

(1)           

[tex3](w-w^2)\cdot(r-r^2)=\frac{77}{16}[/tex3]

(2)            [tex3](r-r^2)+(w-w^2)=-\frac{9}{2}[/tex3]

Se desenvolvermos este sistema do jeito usual (isolar e substituir), retrocederemos, iremos voltar para o polinômio P(x), ponto inicial de nossa trajetória. Para contornar esta dificuldade, vamos fazer uma jogada de MESTRE agora. Criaremos duas incógnitas auxiliares:

(3)            [tex3](r-r^2)=F[/tex3]           e
(4)            [tex3](w-w^2)=G[/tex3]

Com estas novas incógnitas, podemos rescrever o sistema anterior:

(1)           

(2)

[tex3]\left\{G\cdot F=\frac{77}{16}\\G+F=-\frac{9}{2}\right.[/tex3]

E agora passamos a ter um simples sistema de soma e produto que pode ser resolvido da maneira que você bem entender. Bom, se você chegou até este ponto, a resolução deste sistema não lhe é mistério. Resolvendo acharemos:

[tex3]G=-\frac{7}{4}[/tex3]
[tex3]F=-\frac{11}{4}[/tex3]

Agora, utilizando estes valores na equação (3) e (4):

(3)            [tex3]r-r^2=-\frac{11}{4}[/tex3]

4r – 4r2 = -11
4r2 – 4r – 11 = 0

Aplicando Bhaskara, teremos:

[tex3]r’=\frac{1+2\sqrt 3}{2}\hspace{50pt}r”=\frac{1-2\sqrt 3}{2}[/tex3]

Neste ponto você deve estar se perguntando: “Qual valor de r irei usar?”. Podes usar qualquer um. Se você escolher o primeiro, então o segundo será o (1-r), e vice-versa. Portanto, estes dois valores são raízes de P(x).

(4)            [tex3]w-w^2=-\frac{7}{4}[/tex3]

4w – 4w2 = -7
4w2 – 4w – 7 = 0

Aplicando Bhaskara, teremos:

[tex3]w’=\frac{1+2\sqrt 2}{2}\hspace{50pt}w”=\frac{1-2\sqrt 2}{2}[/tex3]

Idem ao quadro ao lado, estes dois valores são raízes de P(x).

As respostas para o item “b” são os valores do quadro acima 🙂