Números Complexos

Sendo Z pertencente ao conjunto dos números Complexos, tal que [tex3]Z^3=\overline{Z}[/tex3], quais valores Z pode assumir?


Para responder esta questão, devemos lembrar que um número complexo sempre pode ser representado por sua forma trigonométrica:

[tex3]Z=|Z|\cdot(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)[/tex3]
onde [tex3]|Z|[/tex3] é o módulo do número complexo Z e [tex3]\theta[/tex3] é o argumento do mesmo.

E também, uma potência de um número complexo é dado pela fórmula de Moivre:

[tex3]Z^n=|Z|^n\cdot[\cos+(n\cdot\theta)+i\cdot\sin+(n\cdot\theta)][/tex3]

E, por último, [tex3]\overline+Z[/tex3] é o conjugado do complexo Z. Ou seja, se [tex3]Z=a+bi[/tex3] teremos [tex3]\overline+Z=a-bi[/tex3].

Portanto, a igualdade[tex3]Z^3=\overline{Z}[/tex3] dada no enunciado pode ser rescrita como:

[tex3]|Z|^3\cdot[\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)]=|Z|\cdot(\cos\theta++i\cdot\sin\theta)[/tex3]

Através desta igualdade, concluímos que [tex3]Z^3[/tex3] só será igual a[tex3]\overline{Z}[/tex3]

(1)      [tex3]|Z|^3=|Z|[/tex3]
e
(2)     [tex3]\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)=\cos\theta++i\cdot\sin\theta[/tex3]

Da igualdade (1) concluímos que o módulo de Z só poderá ser 0 ou 1.

Já a igualdade (2) (que iremos descobrir o argumento de Z), não é tão direto de se achar o resultado. Devemos efetuar alguns cálculos.

[tex3]\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)=\cos\theta++i\cdot\sin\theta[/tex3]

Note que temos uma igualdade de dois números complexos. Para eles serem iguais, a parte real de um deve ser igual à parte real de outro e a parte imaginária de um deve ser igual à parte imaginária do outro. Sendo assim, temos:

(3)     [tex3]\cos(3\cdot\theta)=\cos\theta[/tex3]
(4)     [tex3]\sin(3\cdot\theta)=\sin\theta[/tex3]

Lembrando que [tex3]\cos(3\cdot\theta)=\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta[/tex3], vamos resolver a equação (3):

[tex3]\cos(3\cdot\theta)=\cos\theta[/tex3]

[tex3]\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta=\cos\theta[/tex3]

Passando o termo [tex3]\cos\theta[/tex3] da direita para a esquerda:

[tex3]\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta-\cos\theta=0[/tex3]

Através da equivalência fundamental da trigonometria:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

[tex3]\sin^2(X)+\cos^2(X)=1[/tex3]
[tex3]\sin^2(X)=1-\cos^2(X)[/tex3] [tex3]\cos^2(X)=1-\sin^2(X)[/tex3]

Podemos substituir o valor de [tex3]\sin^2(X)[/tex3]:

[tex3]\cos^3\theta-3\cdot(1-\cos^2\theta)\cdot\cos\theta-\cos\theta=0[/tex3]

Efetuando algumas continhas:

[tex3]\cos^3\theta-3\cdot\cos\theta+3\cdot\cos^3\theta-\cos\theta=0[/tex3]

[tex3]4\cdot\cos^3\theta-4\cdot\cos\theta=0[/tex3]

Colocando o termo [tex3]4\cdot\cos\theta[/tex3] em evidência:

[tex3]4\cdot\cos\theta\cdot(\cos^2-1)=0[/tex3]

Esta equação só irá resultar zero quando um dos fatores for ZERO, ou seja:

[tex3]4\cdot\cos\theta=0[/tex3]

[tex3]\cos\theta=0[/tex3]

[tex3]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\theta=\frac{3\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\cos^2\theta-1=0\\\cos^2\theta=1\\\cos\theta=\pm+1\\\theta=0\hspace{5pt}ou\hspace{5pt}\theta=\pi[/tex3]

E, lembrando da fórmula [tex3]\sin(3\cdot\theta)=\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta[/tex3], podemos resolver a equação (4).

[tex3]\sin(3\cdot\theta)=\sin\theta\\\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta=\sin\theta\\\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta-\sin\theta=0[/tex3]

Substituindo o termo [tex3]\cos^2\theta[/tex3] pela equivalência fundamental da trigonometria:

[tex3]\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot(1-\sin^2\theta)-\sin\theta=0[/tex3]

Efetuando os cálculos:

[tex3]\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta-3\cdot\sin^3\theta-\sin\theta=0[/tex3]

[tex3]-2\sin^3\theta+2\sin\theta=0[/tex3]

Colocando o termo [tex3]2\cdot\sin\theta[/tex3] em evidência, temos:

[tex3]2\cdot\sin\theta\cdot(-\sin^2\theta+1)=0[/tex3]

Ou seja, esta equação só ira resultar ZERO, quando um dos fatores for ZERO. Veja o cálculo:

[tex3]2\cdot\sin\theta=0\\\sin\theta=0\\\theta=0\textrm{++++ou++++}\theta=\pi[/tex3]

[tex3]-\sin^2\theta+1=0\\\sin^2\theta=1\\\sin\theta=\pm+1\\\theta=\frac{\pi}{2}\textrm{+++++ou+++++}\theta=\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Depois de todos estes cálculos a primeira conclusão foi: o módulo será 0 ou 1. O único número que possui módulo igual a 0 é o próprio 0. Esta é a nossa primeira resposta. Já o módulo 1 não nos diz nada.

Quando o módulo for 1, o argumento deve ser algum dos achados nos cálculos acima:

[tex3]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\theta=\frac{3\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\theta=0[/tex3] ou [tex3]\theta=\pi[/tex3]

Vamos visualizar tais números no plano complexo.

complexos01-01.gif (2232 bytes)

Portanto, as respostas que o exercício quer são:

Z = 0 ou
Z = 1 ou
Z = -1 ou
Z = i ou
Z = -i