Sendo Z pertencente ao conjunto dos números Complexos, tal que [tex3]Z^3=\overline{Z}[/tex3], quais valores Z pode assumir?
Para responder esta questão, devemos lembrar que um número complexo sempre pode ser representado por sua forma trigonométrica:
[tex3]Z=|Z|\cdot(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)[/tex3]
onde [tex3]|Z|[/tex3] é o módulo do número complexo Z e [tex3]\theta[/tex3] é o argumento do mesmo.
E também, uma potência de um número complexo é dado pela fórmula de Moivre:
[tex3]Z^n=|Z|^n\cdot[\cos+(n\cdot\theta)+i\cdot\sin+(n\cdot\theta)][/tex3]
E, por último, [tex3]\overline+Z[/tex3] é o conjugado do complexo Z. Ou seja, se [tex3]Z=a+bi[/tex3] teremos [tex3]\overline+Z=a-bi[/tex3].
Portanto, a igualdade[tex3]Z^3=\overline{Z}[/tex3] dada no enunciado pode ser rescrita como:
[tex3]|Z|^3\cdot[\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)]=|Z|\cdot(\cos\theta++i\cdot\sin\theta)[/tex3]
Através desta igualdade, concluímos que [tex3]Z^3[/tex3] só será igual a[tex3]\overline{Z}[/tex3]
(1) [tex3]|Z|^3=|Z|[/tex3]
e
(2) [tex3]\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)=\cos\theta++i\cdot\sin\theta[/tex3]
Da igualdade (1) concluímos que o módulo de Z só poderá ser 0 ou 1.
Já a igualdade (2) (que iremos descobrir o argumento de Z), não é tão direto de se achar o resultado. Devemos efetuar alguns cálculos.
[tex3]\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)=\cos\theta++i\cdot\sin\theta[/tex3]
Note que temos uma igualdade de dois números complexos. Para eles serem iguais, a parte real de um deve ser igual à parte real de outro e a parte imaginária de um deve ser igual à parte imaginária do outro. Sendo assim, temos:
(3) [tex3]\cos(3\cdot\theta)=\cos\theta[/tex3]
(4) [tex3]\sin(3\cdot\theta)=\sin\theta[/tex3]
Lembrando que [tex3]\cos(3\cdot\theta)=\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta[/tex3], vamos resolver a equação (3):
[tex3]\cos(3\cdot\theta)=\cos\theta[/tex3]
[tex3]\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta=\cos\theta[/tex3]
Passando o termo [tex3]\cos\theta[/tex3] da direita para a esquerda:
[tex3]\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta-\cos\theta=0[/tex3]
Através da equivalência fundamental da trigonometria:
| EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL | ||||
|
||||
Podemos substituir o valor de [tex3]\sin^2(X)[/tex3]:
[tex3]\cos^3\theta-3\cdot(1-\cos^2\theta)\cdot\cos\theta-\cos\theta=0[/tex3]
Efetuando algumas continhas:
[tex3]\cos^3\theta-3\cdot\cos\theta+3\cdot\cos^3\theta-\cos\theta=0[/tex3]
[tex3]4\cdot\cos^3\theta-4\cdot\cos\theta=0[/tex3]
Colocando o termo [tex3]4\cdot\cos\theta[/tex3] em evidência:
[tex3]4\cdot\cos\theta\cdot(\cos^2-1)=0[/tex3]
Esta equação só irá resultar zero quando um dos fatores for ZERO, ou seja:
[tex3]4\cdot\cos\theta=0[/tex3]
[tex3]\cos\theta=0[/tex3]
[tex3]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\theta=\frac{3\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\cos^2\theta-1=0\\\cos^2\theta=1\\\cos\theta=\pm+1\\\theta=0\hspace{5pt}ou\hspace{5pt}\theta=\pi[/tex3]
E, lembrando da fórmula [tex3]\sin(3\cdot\theta)=\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta[/tex3], podemos resolver a equação (4).
[tex3]\sin(3\cdot\theta)=\sin\theta\\\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta=\sin\theta\\\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta-\sin\theta=0[/tex3]
Substituindo o termo [tex3]\cos^2\theta[/tex3] pela equivalência fundamental da trigonometria:
[tex3]\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot(1-\sin^2\theta)-\sin\theta=0[/tex3]
Efetuando os cálculos:
[tex3]\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta-3\cdot\sin^3\theta-\sin\theta=0[/tex3]
[tex3]-2\sin^3\theta+2\sin\theta=0[/tex3]
Colocando o termo [tex3]2\cdot\sin\theta[/tex3] em evidência, temos:
[tex3]2\cdot\sin\theta\cdot(-\sin^2\theta+1)=0[/tex3]
Ou seja, esta equação só ira resultar ZERO, quando um dos fatores for ZERO. Veja o cálculo:
[tex3]2\cdot\sin\theta=0\\\sin\theta=0\\\theta=0\textrm{++++ou++++}\theta=\pi[/tex3]
[tex3]-\sin^2\theta+1=0\\\sin^2\theta=1\\\sin\theta=\pm+1\\\theta=\frac{\pi}{2}\textrm{+++++ou+++++}\theta=\frac{3\pi}{2}[/tex3]
Depois de todos estes cálculos a primeira conclusão foi: o módulo será 0 ou 1. O único número que possui módulo igual a 0 é o próprio 0. Esta é a nossa primeira resposta. Já o módulo 1 não nos diz nada.
Quando o módulo for 1, o argumento deve ser algum dos achados nos cálculos acima:
[tex3]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\theta=\frac{3\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\theta=0[/tex3] ou [tex3]\theta=\pi[/tex3]
Vamos visualizar tais números no plano complexo.
Portanto, as respostas que o exercício quer são:
Z = 0 ou
Z = 1 ou
Z = -1 ou
Z = i ou
Z = -i