Números Complexos

Sendo Z pertencente ao conjunto dos números Complexos, tal que $formdata=Z^3=\overline{Z}$ , quais valores Z pode assumir?

Para responder esta questão, devemos lembrar que um número complexo sempre pode ser representado por sua forma trigonométrica:

$formdata=Z=|Z|\cdot(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$
onde $formdata=|Z|$ é o módulo do número complexo Z e $formdata=\theta$ é o argumento do mesmo.

E também, uma potência de um número complexo é dado pela fórmula de Moivre:

$formdata=Z^n=|Z|^n\cdot[\cos+(n\cdot\theta)+i\cdot\sin+(n\cdot\theta)]$

E, por último, $formdata=\overline+Z$ é o conjugado do complexo Z. Ou seja, se $formdata=Z=a+bi$ teremos $formdata=\overline+Z=a-bi$ .

Portanto, a igualdade $formdata=Z^3=\overline{Z}$ dada no enunciado pode ser rescrita como:

$formdata=|Z|^3\cdot[\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)]=|Z|\cdot(\cos\theta++i\cdot\sin\theta)$

Através desta igualdade, concluímos que $formdata=Z^3$ só será igual a $formdata=\overline{Z}$

(1) $formdata=|Z|^3=|Z|$
e
(2) $formdata=\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)=\cos\theta++i\cdot\sin\theta$

Da igualdade (1) concluímos que o módulo de Z só poderá ser 0 ou 1.

Já a igualdade (2) (que iremos descobrir o argumento de Z), não é tão direto de se achar o resultado. Devemos efetuar alguns cálculos.

$formdata=\cos(3\cdot\theta)+i\cdot\sin(3\cdot\theta)=\cos\theta++i\cdot\sin\theta$

Note que temos uma igualdade de dois números complexos. Para eles serem iguais, a parte real de um deve ser igual à parte real de outro e a parte imaginária de um deve ser igual à parte imaginária do outro. Sendo assim, temos:

(3) $formdata=\cos(3\cdot\theta)=\cos\theta$
(4) $formdata=\sin(3\cdot\theta)=\sin\theta$

Lembrando que $formdata=\cos(3\cdot\theta)=\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta$ , vamos resolver a equação (3):

$formdata=\cos(3\cdot\theta)=\cos\theta$

$formdata=\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta=\cos\theta$

Passando o termo $formdata=\cos\theta$ da direita para a esquerda:

$formdata=\cos^3\theta-3\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta-\cos\theta=0$

Através da equivalência fundamental da trigonometria:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

$formdata=\sin^2(X)+\cos^2(X)=1$
$formdata=\sin^2(X)=1-\cos^2(X)$	$formdata=\cos^2(X)=1-\sin^2(X)$

Podemos substituir o valor de $formdata=\sin^2(X)$ :

$formdata=\cos^3\theta-3\cdot(1-\cos^2\theta)\cdot\cos\theta-\cos\theta=0$

Efetuando algumas continhas:

$formdata=\cos^3\theta-3\cdot\cos\theta+3\cdot\cos^3\theta-\cos\theta=0$

$formdata=4\cdot\cos^3\theta-4\cdot\cos\theta=0$

Colocando o termo $formdata=4\cdot\cos\theta$ em evidência:

$formdata=4\cdot\cos\theta\cdot(\cos^2-1)=0$

Esta equação só irá resultar zero quando um dos fatores for ZERO, ou seja:

$formdata=4\cdot\cos\theta=0$

$formdata=\cos\theta=0$

$formdata=\theta=\frac{\pi}{2}$ ou $formdata=\theta=\frac{3\pi}{2}$

$formdata=\cos^2\theta-1=0\\\cos^2\theta=1\\\cos\theta=\pm+1\\\theta=0\hspace{5}ou\hspace{5}\theta=\pi$

E, lembrando da fórmula $formdata=\sin(3\cdot\theta)=\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta$ , podemos resolver a equação (4).

$formdata=\sin(3\cdot\theta)=\sin\theta\\\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta=\sin\theta\\\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot\cos^2\theta-\sin\theta=0$

Substituindo o termo $formdata=\cos^2\theta$ pela equivalência fundamental da trigonometria:

$formdata=\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta\cdot(1-\sin^2\theta)-\sin\theta=0$

Efetuando os cálculos:

$formdata=\sin^3\theta+3\cdot\sin\theta-3\cdot\sin^3\theta-\sin\theta=0$

$formdata=-2\sin^3\theta+2\sin\theta=0$

Colocando o termo $formdata=2\cdot\sin\theta$ em evidência, temos:

$formdata=2\cdot\sin\theta\cdot(-\sin^2\theta+1)=0$

Ou seja, esta equação só ira resultar ZERO, quando um dos fatores for ZERO. Veja o cálculo:

$formdata=2\cdot\sin\theta=0\\\sin\theta=0\\\theta=0\textrm{++++ou++++}\theta=\pi$

$formdata=-\sin^2\theta+1=0\\\sin^2\theta=1\\\sin\theta=\pm+1\\\theta=\frac{\pi}{2}\textrm{+++++ou+++++}\theta=\frac{3\pi}{2}$

Depois de todos estes cálculos a primeira conclusão foi: o módulo será 0 ou 1. O único número que possui módulo igual a 0 é o próprio 0. Esta é a nossa primeira resposta. Já o módulo 1 não nos diz nada.

Quando o módulo for 1, o argumento deve ser algum dos achados nos cálculos acima:

$formdata=\theta=\frac{\pi}{2}$ ou $formdata=\theta=\frac{3\pi}{2}$ ou $formdata=\theta=0$ ou $formdata=\theta=\pi$

Vamos visualizar tais números no plano complexo.

complexos01-01.gif (2232 bytes)

Portanto, as respostas que o exercício quer são:

Z = 0 ou
Z = 1 ou
Z = -1 ou
Z = i ou
Z = -i

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