Seja [tex3]f[/tex3] a função real dada por[tex3]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex3], com [tex3]a \gt 0[/tex3].
Determine[tex3]a[/tex3],[tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] sabendo que as raízes da equação[tex3]|f(x)| = 12[/tex3] são[tex3]-2,\,1,\,2 \text{ e } 5[/tex3].
Começamos interpretando as informações dadas a respeito de [tex3]f(x)[/tex3].
Se [tex3]-2[/tex3] é raiz de [tex3]|f(x)| = 12[/tex3], então temos que [tex3]|f(-2)|=12[/tex3], e isso implica que [tex3]f(-2)[/tex3] vale [tex3]12[/tex3] ou [tex3]-12[/tex3].
Com esse mesmo raciocínio vemos que [tex3]f(1)[/tex3] também só pode valer [tex3]12[/tex3] ou [tex3]-12[/tex3].
Idem para [tex3]f(2)[/tex3] e [tex3]f(5)[/tex3] (todas as raízes de [tex3]|f(x)| = 12[/tex3]).
Assim, podemos desenhar estas possibilidades em um gráfico cartesiano:
Os pontos assinalados em azul na figura acima são as possibilidades descritas anteriormente. Agora, para desenhar uma parábola nestes pontos, note que não podemos escolher todos igual a 12. Pois, assim, teríamos quatro pontos com mesmo valor de Y, e em uma parábola só é possível ter dois pontos com mesma ordenada.
Veja que a única configuração que poderia gerar uma parábola com concavidade para cima (pois o enunciado diz que [tex3]a > 0[/tex3]), é como mostrado abaixo:
Com esta constatação, temos as informações:
[tex3]f(-2)=12[/tex3]
[tex3]f(1)=-12[/tex3]
[tex3]f(2)=-12[/tex3]
[tex3]f(5)=12[/tex3]
E, agora, substituindo estas quatro informações na equação dada no enunciado [tex3]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex3], podemos montar um sistema para descobrir [tex3]a,\,b \text{ e } c[/tex3].
[tex3]\begin{cases}a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c=12\\a\cdot(1)^2+b\cdot(1)+c=-12\\a\cdot(2)^2+b\cdot(2)+c=-12\\a\cdot(5)^2+b\cdot(5)+c=12\end{cases}[/tex3]
Efetuando os cálculos:
[tex3]\begin{cases}4a-2b+c=12\\a+b+c=-12\\4a+2b+c=-12\\25a+5b+c=12\end{cases}[/tex3]
Fazemos a terceira equação menos a primeira:
[tex3]4b=-24\\b=\frac{-24}{4}\\b=-6[/tex3]
Agora substituímos este valor de b na segunda e na quarta equações:
[tex3]\begin{cases}a-6+c=-12\\25a+5(-6)+c=12\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}a+c=-6\\25a+c=42\end{cases}[/tex3]
Fazendo, agora, a segunda equação menos a primeira:
[tex3]24a=48[/tex3]
[tex3]a=2[/tex3]
Agora substituímos este valor de “a” na equação [tex3]a+c=-6[/tex3]:
[tex3]2+c=-6[/tex3]
[tex3]c=-8[/tex3]