Logaritmos

( IME – 2001 ) Sejam “a” e “b” números reais positivos e diferentes de 1.

Dado o sitema abaixo:

[tex3]\begin{cases}a^x\cdot b^{\frac{1}{y}}=\sqrt{a\cdot b}\\2\cdot\log_ax=\log_{\frac{1}{b}}y\cdot\log_{\sqrt{a}}b\end{cases}[/tex3]

determine os valores de “x” e “y”.


Esta questão consiste, basicamente, em “transformar” este sistema de equações – que, aparentemente, são difíceis – em um sitema com equações “mais bonitinhas”.

Vamos começar trabalhando na segunda equação:

[tex3]2\cdot \log_ax=\log_{(\frac{1}{b})}y\cdot\log_{\sqrt a}b[/tex3]

Note que, no lado esquerdo da igualdade podemos aplicar a propriedade de logaritmos e “passar” o 2 que está multiplicando, como expoente do logaritmando:

[tex3]\log_a(x^2)=\log_{\frac{1}{b}}y\cdot\log_{\sqrt a}b[/tex3]

Do lado direito, podemos modificar a aparência das bases dos logaritmos.

[tex3]\frac{1}{b}=b^{-1}\\\\\sqrt a=a^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Efetuando a modificação:

[tex3]\log_a(x^2)=\log_{b^{-1}}y\cdot\log_{\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}b[/tex3]

Podemos agora, aplicar uma propriedade de logaritmos e “passar” o expoente da base dividindo o sistema de logaritmo que a possui:

[tex3]\log_a(x^2)=\frac{\log_{b}y}{-1}\cdot\frac{\log_{a}b}{\frac{1}{2}}[/tex3]

Efetuando as divisões:

[tex3]\log_a(x^2)=-\log_{b}y\cdot 2\log_{a}b[/tex3]

Vamos modificar a ordem da multplicação do lado direito:

[tex3]\log_a(x^2)=-2\log_{a}b\cdot \log_{b}y[/tex3]

Agora, podemos “cortar”, do lado direito, a base “b” com o logaritmando “b”.

[tex3]\log_a(x^2)=-2\log_{a}y[/tex3]

O “-2” que está multiplicando o logaritmo pode passar como expoente do logaritmando:

[tex3]\log_a(x^2)=\log_{a}{y^{-2}}[/tex3]

Como há uma igualdade de dois logaritmos de mesma base, podemos igualar os logaritmandos (vulgarmente falamos “cortar” os logaritmos):

[tex3]\begin{array}{c}x^2=y^{-2}\\\\x^2=\frac{1}{y^2}\\\\x^2=\left(\frac{1}{y}\right)^2\end{array}[/tex3]

Note, que é dito no enunciado que “x” e “y” são números POSITIVOS. Portanto, podemos cancelar os quadrados dos dois lados e escrever:

[tex3]x=\frac{1}{y}[/tex3]

Esta será a nossa primeira “equação bonitinha”, chamamos de equação (1).

Vamos voltar ao sistema do enunciado e trabalhar na primeira equação:

[tex3]a^x\cdot b^{\frac{1}{y}}=\sqrt{a\cdot b}[/tex3]

Podemos substituir o valor de 1/y que temos da equação (1) e substituir a raiz quadrada pela sua representação em forma de potência:

[tex3]a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Aplicando uma propriedade de potenciação, podemos escrever:

[tex3](a\cdot b)^x=(a\cdot b)^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Assim, “cortando” as bases, concluímos que:

[tex3]x=\frac{1}{2}[/tex3]

Lembrando, de (1),  que:

[tex3]x=\frac{1}{y}[/tex3]

O valor de “y” será:

[tex3]\frac{1}{2}=\frac{1}{y}[/tex3]

Portanto:

y = 2