( IME – 2001 ) Sejam “a” e “b” números reais positivos e diferentes de 1.
Dado o sitema abaixo:
[tex3]\begin{cases}a^x\cdot b^{\frac{1}{y}}=\sqrt{a\cdot b}\\2\cdot\log_ax=\log_{\frac{1}{b}}y\cdot\log_{\sqrt{a}}b\end{cases}[/tex3]
determine os valores de “x” e “y”.
Esta questão consiste, basicamente, em “transformar” este sistema de equações – que, aparentemente, são difíceis – em um sitema com equações “mais bonitinhas”.
Vamos começar trabalhando na segunda equação:
[tex3]2\cdot \log_ax=\log_{(\frac{1}{b})}y\cdot\log_{\sqrt a}b[/tex3]
Note que, no lado esquerdo da igualdade podemos aplicar a propriedade de logaritmos e “passar” o 2 que está multiplicando, como expoente do logaritmando:
[tex3]\log_a(x^2)=\log_{\frac{1}{b}}y\cdot\log_{\sqrt a}b[/tex3]
Do lado direito, podemos modificar a aparência das bases dos logaritmos.
[tex3]\frac{1}{b}=b^{-1}\\\\\sqrt a=a^{\frac{1}{2}}[/tex3]
Efetuando a modificação:
[tex3]\log_a(x^2)=\log_{b^{-1}}y\cdot\log_{\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}b[/tex3]
Podemos agora, aplicar uma propriedade de logaritmos e “passar” o expoente da base dividindo o sistema de logaritmo que a possui:
[tex3]\log_a(x^2)=\frac{\log_{b}y}{-1}\cdot\frac{\log_{a}b}{\frac{1}{2}}[/tex3]
Efetuando as divisões:
[tex3]\log_a(x^2)=-\log_{b}y\cdot 2\log_{a}b[/tex3]
Vamos modificar a ordem da multplicação do lado direito:
[tex3]\log_a(x^2)=-2\log_{a}b\cdot \log_{b}y[/tex3]
Agora, podemos “cortar”, do lado direito, a base “b” com o logaritmando “b”.
[tex3]\log_a(x^2)=-2\log_{a}y[/tex3]
O “-2” que está multiplicando o logaritmo pode passar como expoente do logaritmando:
[tex3]\log_a(x^2)=\log_{a}{y^{-2}}[/tex3]
Como há uma igualdade de dois logaritmos de mesma base, podemos igualar os logaritmandos (vulgarmente falamos “cortar” os logaritmos):
[tex3]\begin{array}{c}x^2=y^{-2}\\\\x^2=\frac{1}{y^2}\\\\x^2=\left(\frac{1}{y}\right)^2\end{array}[/tex3]
Note, que é dito no enunciado que “x” e “y” são números POSITIVOS. Portanto, podemos cancelar os quadrados dos dois lados e escrever:
[tex3]x=\frac{1}{y}[/tex3]
Esta será a nossa primeira “equação bonitinha”, chamamos de equação (1).
Vamos voltar ao sistema do enunciado e trabalhar na primeira equação:
[tex3]a^x\cdot b^{\frac{1}{y}}=\sqrt{a\cdot b}[/tex3]
Podemos substituir o valor de 1/y que temos da equação (1) e substituir a raiz quadrada pela sua representação em forma de potência:
[tex3]a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^{\frac{1}{2}}[/tex3]
Aplicando uma propriedade de potenciação, podemos escrever:
[tex3](a\cdot b)^x=(a\cdot b)^{\frac{1}{2}}[/tex3]
Assim, “cortando” as bases, concluímos que:
[tex3]x=\frac{1}{2}[/tex3]
Lembrando, de (1), que:
[tex3]x=\frac{1}{y}[/tex3]
O valor de “y” será:
[tex3]\frac{1}{2}=\frac{1}{y}[/tex3]
Portanto:
y = 2