Logaritmos

Qual o valor de “x” na equação: [tex3]\log_2x+\log_3x+\log_4x=1[/tex3]


Para trabalhar com logaritmos, é sempre mais fácil termos as bases envolvidas igualadas. Vamos transformar todas bases na base 2:

[tex3]\log_2x+\frac{\log_2x}{\log_23}+\frac{\log_2x}{\log_24}=1[/tex3]

Sabendo que log2 4 = 2, vamos substituir:

[tex3]\log_2x+\frac{\log_2x}{\log_23}+\frac{\log_2x}{2}=1[/tex3]

Tirando o MMC, que vale 2 . log2 3

[tex3]\frac{2\cdot(\log_23)\cdot(\log_2x)+2\cdot(\log_2x)+(\log_23)\cdot(\log_2x)=2\cdot(\log_23)}{2\cdot\log_23}[/tex3]

Como efetuamos o MMC dos dois lados da equação, podemos cortá-lo e colocar o termo [tex3]\log_2x[/tex3] em evidência no numerador:

[tex3](\log_2x)\cdot(2\cdot\log_23+2+\log_23)=2\cdot\log_23[/tex3]

Para facilitar os cálculos, vamos voltar o 2 como sendo [tex3]\log_24[/tex3] e somar as parcelas [tex3]\log_23[/tex3].

[tex3]\log_2x\cdot(3\cdot\log_23+\log_24)=2\cdot\log_23[/tex3]

Aplicando a propriedade de logaritmos no termo [tex3]3\cdot\log_23[/tex3] e no [tex3]2\cdot\log_23[/tex3]:

[tex3]\log_2x\cdot(\log_23^3+\log_24)=\log_23^2[/tex3]

[tex3]\log_2x\cdot(\log_227+\log_24)=\log_29[/tex3]

Podemos transformar a soma de logaritmos em uma multiplicação:

[tex3]\log_2x\cdot\log_2(27\cdot 4)=\log_29[/tex3]

[tex3]\log_2x\cdot\log_2108=\log_29[/tex3]

Vamos passar o [tex3]\log_2108[/tex3] para o outro lado dividindo:

[tex3]\log_2x=\frac{\log_29}{\log_2108}[/tex3]

Agora, como os dois log’s do lado direito estão na mesma base, podemos reverter o processo de troca de base e utilizar a base 108:

[tex3]\log_2x=\log_{108}9[/tex3]

Isolando o “x”:

log01-01.gif (1252 bytes)

[tex3]\Large{x=2^{\left(log_{108}9\right)}}[/tex3]

¡¡¡Esta é a resposta final!!!