Lei dos Senos

Na figura abaixo, AB = 5cm, AC = 3cm e o raio do círculo maior mede 4cm.
Calcule a medida do raio do círculo menor.

lei dos senos image


Primeiramente, fazemos uma divisão no triângulo ABC e trabalharemos com dois triângulos distintos.

lei dos senos 02

Os triângulos são AMC e ABM.

Note que c1 é o círculo circunscrito ao triângulo ABM e c2 é o círculo circunscrito ao triângulo AMC.

Lembramos que a lei dos senos é:

LEI DOS SENOS

[tex3]\frac{a}{\sin{\hat{A}}}=\frac{b}{\sin{\hat{B}}}=\frac{c}{\sin{\hat{C}}}=2R[/tex3]

Onde R indica o raio do círculo circunscrito

Iremos utilizar a parte do raio do círculo circunscrito.

No triângulo AMC aplicamos a lei dos senos em relação ao ângulo (180°-α):

[tex3]\frac{5}{\sin{(180^{\circ}-\alpha})}=2\cdot 4[/tex3]

[tex3]\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{5}{8}[/tex3]

Só que, na trigonometria, existe a relação [tex3]\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin(\alpha)[/tex3]. Portanto:

[tex3]\sin(\alpha)=\frac{5}{8}[/tex3]

Agora que sabemos o seno de α podemos aplicar a lei dos senos no triângulo BAM também:

[tex3]\frac{3}{\sin\alpha}=2\cdot r[/tex3]

Substituindo o seno de seno de α:

[tex3]\frac{\,\,3\,\,}{\frac{5}{8}}=2\cdot r[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{r=\frac{12}{5}=2,4\,cm}}[/tex3]