Geometria Plana, Triângulo

Considere um triângulo ABC e os pontos D e E na base BC, com D entre B e E e E entre D e C.

Trace os segmentos AD e AE, de modo que “BAD” = “DAE” = “EAC” =45º.

Se BD=3, DE=2, quanto mede EC?

Para resolver este exercício, dê uma olhada em Teorema da Bissetriz Interna e Teorema da Bissetriz Externa.

O desenho desta situação é o seguinte:

bissetriz interna

Note que AD é bissetriz interna do triângulo BEA. Ou seja, podemos utilizar o teorema da bissetriz interna neste triângulo:

(1)

$formdata=\Large\frac{2}{\,\,\,\overline{AB}\,\,\,}=\frac{2}{\,\,\,\overline{AE}\,\,\,}\Longrightarrow\overline{AB}=\frac{3\cdot\overline{AE}}{2}$

Veja, também, que o triângulo mostrado acima, é retângulo. Ou seja, podemos aplicar pitágoras nele:

(2)

$formdata=\Large\overline{AB}^2+\overline{AE}^2=5^2$

Substituímos a equação (1) na equação (2):

$formdata=\left(\frac{3\cdot\overline{AE}}{2}\right)^2+\overline{AE}^2=25$

$formdata=\frac{9\cdot\overline{AE}^2}{4}+\overline{AE}^2=25$

$formdata=9\cdot\overline{AE}^2+4\cdot\overline{AE}^2=4\cdot+25$

$formdata=13\cdot\overline{AE}^2=4\cdot+25$

$formdata=\overline{AE}=\sqrt{\frac{100}{13}}$

Racionalizando este valor:

$formdata=\overline{AE}=\frac{10\sqrt{13}}{13}$

Voltando agora, lá na equação (1), substituímos este valor nela:

$formdata=\overline{AB}=\frac{3\cdot\frac{10\sqrt{13}}{13}}{2}$

$formdata=\overline{AB}=\frac{15\sqrt{13}}{13}$

Agora que sabemos o valor de AB e AE podemosa aumentar nossa visão do triângulo ABE.:

Sabemos que o ângulo BAD = DAE = EAC = 45°, portanto, podemos concluir que CAF também vale 45°.

Com este raciocínio, concluímos que CA divide o ângulo externo EAF ao meio, ou seja, AC é a bissetriz externa.

Podemos, então, aplicar o teorema da bissetriz externa.

$formdata=\Large\frac{\,\,\,5+x\,\,\,}{\frac{15\sqrt{13}}{13}}=\frac{x}{\,\,\,\frac{10\sqrt{13}}{13}\,\,\,}$

$formdata=(5+x)\cdot\frac{10\sqrt{13}}{13}++=+x\cdot+\frac{15\sqrt{13}}{13}$

$formdata=(5+x)\cdot+10=x\cdot+15\\+50+10x=15x\\5x=50$

$resposta final$

Esta é a resposta que o enunciado está pedindo!