Geometria Plana, Triângulo

Considere um triângulo ABC e os pontos D e E na base BC, com D entre B e E e E entre D e C.

Trace os segmentos AD e AE, de modo que “BAD” = “DAE” = “EAC” =45º.

Se BD=3, DE=2, quanto mede EC?


Para resolver este exercício, dê uma olhada em Teorema da Bissetriz Interna e Teorema da Bissetriz Externa.

O desenho desta situação é o seguinte:

bissetriz interna

Note que AD é bissetriz interna do triângulo BEA. Ou seja, podemos utilizar o teorema da bissetriz interna neste triângulo:

teorema da bissetriz interna[tex3]\frac{2}{\,\,\,\overline{AB}\,\,\,}=\frac{2}{\,\,\,\overline{AE}\,\,\,}\Longrightarrow\overline{AB}=\frac{3\cdot\overline{AE}}{2}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(1)}}[/tex3]

Veja, também, que o triângulo mostrado acima, é retângulo. Ou seja, podemos aplicar pitágoras nele:

teorema da bissetriz interna[tex3]\overline{AB}^2+\overline{AE}^2=5^2\hspace{20pt}{\color{red}\text{(2)}}[/tex3]

Substituímos a equação (1) na equação (2):

[tex3]\left(\frac{3\cdot\overline{AE}}{2}\right)^2+\overline{AE}^2=25[/tex3]

[tex3]\frac{9\cdot\overline{AE}^2}{4}+\overline{AE}^2=25[/tex3]

[tex3]9\cdot\overline{AE}^2+4\cdot\overline{AE}^2=4\cdot 25[/tex3]

[tex3]13\cdot\overline{AE}^2=4\cdot 25[/tex3]

[tex3]\overline{AE}=\sqrt{\frac{100}{13}}[/tex3]

Racionalizando este valor:

[tex3]\overline{AE}=\frac{10\sqrt{13}}{13}[/tex3]

Voltando agora, lá na equação (1), substituímos este valor nela:

[tex3]\overline{AB}=\frac{3\cdot\frac{10\sqrt{13}}{13}}{2}[/tex3]

[tex3]\overline{AB}=\frac{15\sqrt{13}}{13}[/tex3]

bissetriz externa

Sabemos que o ângulo BAD = DAE = EAC = 45°, portanto, podemos concluir que CAF também vale 45°.

Com este raciocínio, concluímos que CA divide o ângulo externo EAF ao meio, ou seja, AC é a bissetriz externa.

Podemos, então, aplicar o teorema da bissetriz externa.

[tex3]\frac{\,\,\,5+x\,\,\,}{\frac{15\sqrt{13}}{13}}=\frac{x}{\,\,\,\frac{10\sqrt{13}}{13}\,\,\,}[/tex3]

Agora que sabemos o valor de AB e AE podemos aumentar nossa visão do triângulo ABE:

[tex3](5+x)\cdot\frac{10\sqrt{13}}{13}=x\cdot \frac{15\sqrt{13}}{13}[/tex3]

[tex3](5+x)\cdot 10=x\cdot 15[/tex3]

[tex3]50+10x=15x[/tex3]

[tex3]5x=50[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=10}}[/tex3]

Esta é a resposta que o enunciado está pedindo!