Geometria Plana – I Shing

( CONSART – 1975 ) O ponto O é o centro do círculo ACBDe extremidade das semicircunferências OA e OB da figura. A reta que contém O e divide a região hachurada em duas partes de mesma área faz com OA um ângulo de:

ishing.gif (1680 bytes)

    (A) 36o
(B) 45o
(C) 52o 30′
(D) 60o
(E) 75o


Traduzindo o que o exercício pede, teremos um segmento na parte cinza que irá dividi-lo em duas partes de mesma área. Como na figura abaixo (o segmento mais grosso):

ishing02.gif (1787 bytes)

O exercício pede justamente o valor do ângulo α. Vamos dizer que o raio do círculo vale “R”.

Para tal cálculo, devemos ter em mente a fórmula da área de um setor circular α qualquer (vamos chamar de “As”, Área do setor). Lembre-se que esta fórmula nada mais é do que uma regrinha de três, como mostrado no quadro abaixo:

[tex3]\pi+\cdot R^2+\rightarrow+2\cdot \pi\\As+\rightarrow+\alpha[/tex3]

calculando:

[tex3]As=\frac{\alpha+\cdot R^2}{2}[/tex3]

Sempre lembrando que o α deve ser em radianos.

Com esta fórmula em mente, voltamos a pensar no enunciado.

ishing02.gif (1787 bytes)

Vamos chamar a área cinza acima do segmento divisor de A1 e a área cinza abaixo do segmento divisor de A2.

Olhando para A1, podemos dizer que este será a soma da área de um semicírculo (no desenho abaixo pintado de vermelho) com a área de um setor circular (no desenho abaixo pintado de verde).

ishing03.gif (1915 bytes)

Olhando para o desenho, vemos que o semicírculo possui diâmetro igual à “R”, portanto, seu raio irá valer R/2 e sua área – se fosse um círculo completo – seria π(R/2)2. Ou seja, como temos metade de um círculo, teremos metade da área, metade de π(R/2)2:

[tex3]A_{vermelho}=\frac{\pi+\cdot R^2}{8}[/tex3]

E utilizando a fórmula demonstrada no início do problema, vamos calcular a área do setor verde:

[tex3]As=\frac{\alpha\cdot R^2}{2}[/tex3]

Como sabemos que A1 será a soma destas duas áreas, temos:

(1)      [tex3]A_1=\frac{\pi+\cdot R^2}{8}+\frac{\alpha+\cdot R^2}{2}[/tex3]

Guardamos esta equação como equação (1).

Devemos agora achar A2.

Olhando para A2 podemos dizer que será a área de um setor circular (180o – α) – marcado de amarelo na figura abaixo – menos a área de um semicírculo igual ao anterior – marcado de azul na figura abaixo. Veja as figuras:

ishing04.gif (1968 bytes)

ishing05.gif (1880 bytes)

A área do setor (As2) iremos calcular pela fórmula. Mas, lembrando que o arco deve ser dado em radianos, 180o vira π rad.

[tex3]As2=\frac{(\pi-\alpha)\cdot R^2}{2}[/tex3]

E a área do semicírculo já é conhecida:

[tex3]A_{azul}=\frac{\pi\cdot R^2}{8}[/tex3]

E A2 será As2 – Aazul , portanto:

(2)      [tex3]A_2=\frac{(\pi-\alpha)\cdot R^2}{2}-\frac{\pi\cdot R^2}{8}[/tex3]

Esta é a equação (2) da área A2. Como o exercício diz que A1 deve ser igual a A2, vamos igualar as equações (1) e (2).

[tex3]\frac{\pi\cdot R^2}{8}+\frac{\alpha\cdot R^2}{2}=\frac{(\pi-\alpha)\cdot R^2}{2}-\frac{\pi\cdot R^2}{8}[/tex3]

Podemos colocar o termo R2/2 em evidência dos dois lados da igualdade:

[tex3]\frac{R^2}{2}\cdot\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{R^2}{2}\cdot\left(\pi-\alpha-\frac{\pi}{4}\right)[/tex3]

Podemos cortar o termo R2/2 que está presente dos dois lados:

[tex3]\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\left(\pi-\alpha-\frac{\pi}{4}\right)[/tex3]

Vamos passar o que é α para o lado esquerdo da equação e o que não é α para o lado direito:

[tex3]2\cdot\alpha=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\alpha=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Este é o valor em radianos, para transformar em graus devemos somente substituir o π por 180o.

[tex3]\alpha=\frac{180^{\circ}}{4}[/tex3]

α = 45o

Resposta certa, letra “B”. Trabalhoso, não? 🙂