Geometria Plana – Estrela de Cinco Pontas

Na estrela de cinco pontas abaixo, qual o valor da soma dos ângulos
Â, Ê, Î, Ô, Û?

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Para este cálculo, vamos antes olhar para alguns triângulos especiais no desenho:

Veja que, a soma dos ângulos dos triângulos marcados na figura será 5 x 180^o, ou seja, será 900^o. Mas esta soma não é somente dos ângulos pedidos, temos algumas “sujeirinhas” que devem ser retiradas deste valor. As “sujeirinhas” estão marcadas em vermelho na figura abaixo:

Se descobrirmos o valor da soma destes ângulos (marcados em vermelho), podemos pegar o 900^o e subtrair este valor que teremos o resultado pedido no exercício.

Então o nosso objetivo se tornou outro. Devemos agora achar a soma dos ângulos vermelhos.

Para isso, vamos utilizar um artifício simples. Veja a figura abaixo:

FIGURA III

Note que cada circunferência marcada na figura é formada por dois ângulos (dois verdes e dois vermelhos). Sendo que em cada circunferência os verdes são iguais entre si e os vermelhos são iguais entre si (ângulos opostos pelo vértice). Temos cinco circunferências, cada uma com 360^o , portanto, todas juntas somam 5 x 360^o , ou seja, 1800^o.

Os ângulos vermelhos somados é o valor que queremos saber. Note que, os ângulos verdes “internos” à estrela são os ângulos internos de um pentágono, como sugerido na figura abaixo:

Pela fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono de “n” lados:

[tex3]\textrm{SOMA+}=(n-2)\cdot 180[/tex3]

Temos que a soma destes ângulos verdes (ângulos do pentágono, polígono de 5 lados):

[tex3]\textrm{SOMA+}=(5-2)\cdot 180+=+540^{\circ}[/tex3]

A soma de todos ângulos verdes internos da estrela é 540^o. Como os verdes externos da estrela são repetições dos internos, sua soma deverá ser igual. Portanto, todos os ângulos verdes da figura III totalizam 2 x 540^o , ou seja, 1080^o.

 

	Como todas circunferências juntas possuem 1800o e os verdes totalizam 1080o, concluímos que os vermelhos serão 1800o – 1080o , ou seja, 720o .
FIGURA III

Voltando ao cálculo do início, quando queríamos descobrir o valor da soma vermelha, concluímos que a soma pedida no exercício é:

900^o – 720^o = 180^o

A soma pedida é 180^o.