Na estrela de cinco pontas abaixo, qual o valor da soma dos ângulos
Â, Ê, Î, Ô, Û?
Para este cálculo, vamos antes olhar para alguns triângulos especiais no desenho:
Veja que, a soma dos ângulos dos triângulos marcados na figura será 5 x 180o, ou seja, será 900o. Mas esta soma não é somente dos ângulos pedidos, temos algumas “sujeirinhas” que devem ser retiradas deste valor. As “sujeirinhas” estão marcadas em vermelho na figura abaixo:
Se descobrirmos o valor da soma destes ângulos (marcados em vermelho), podemos pegar o 900o e subtrair este valor que teremos o resultado pedido no exercício.
Então o nosso objetivo se tornou outro. Devemos agora achar a soma dos ângulos vermelhos.
Para isso, vamos utilizar um artifício simples. Veja a figura abaixo:
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FIGURA III |
Note que cada circunferência marcada na figura é formada por dois ângulos (dois verdes e dois vermelhos). Sendo que em cada circunferência os verdes são iguais entre si e os vermelhos são iguais entre si (ângulos opostos pelo vértice). Temos cinco circunferências, cada uma com 360o , portanto, todas juntas somam 5 x 360o , ou seja, 1800o.
Pela fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono de “n” lados:
[tex3]\textrm{SOMA+}=(n-2)\cdot 180[/tex3]
Temos que a soma destes ângulos verdes (ângulos do pentágono, polígono de 5 lados):
[tex3]\textrm{SOMA+}=(5-2)\cdot 180+=+540^{\circ}[/tex3]
A soma de todos ângulos verdes internos da estrela é 540o. Como os verdes externos da estrela são repetições dos internos, sua soma deverá ser igual. Portanto, todos os ângulos verdes da figura III totalizam 2 x 540o , ou seja, 1080o.
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Como todas circunferências juntas possuem 1800o e os verdes totalizam 1080o, concluímos que os vermelhos serão 1800o – 1080o , ou seja, 720o . |
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FIGURA III |
Voltando ao cálculo do início, quando queríamos descobrir o valor da soma vermelha, concluímos que a soma pedida no exercício é:
900o – 720o = 180o
A soma pedida é 180o.