Geometria Plana – AFA

( AFA ) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, EFD é um triângulo equilátero e CDE são colineares. Sabendo que CB=FE=[tex3]2\sqrt{11}[/tex3] u.c., qual a área do triângulo DGH?

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u.c. = Unidades de Comprimento
u.a. = Unidades de Área

Primeiramente, vamos analisar algumas propriedades do desenho que serão importantes para a resolução.

A primeira propriedade, que é vista de cara, são os valores de comprimento das arestas. Como ABCD é um quadrado e EFD é um triângulo equilátero, podemos colocar o valor [tex3]2\sqrt{11}[/tex3] em, praticamente, todas as arestas da figura. Veja o desenho abaixo.

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Veja, que, o ponto D divide o segmento CE em dois segmentos de mesmo comprimento, portanto, é o ponto médio.

Prolongando o segmento BA e traçando uma paralela a BC passando por E temos um retângulo que pode nos auxiliar a “pegar” outra propriedade bem interessante. Veja a figura abaixo:

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Note, que, o segmento BE é a diagonal do retângulo BPEC. Como D é o ponto médio de CE, e o segmento DA é paralelo à BC, o ponto G será o ponto médio da diagonal do retângulo, portanto, será o ponto médio do segmento AD. Sendo assim, o comprimento de GD será a metade de DA, ou seja, [tex3]\sqrt{11}[/tex3].

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O triângulo GDE é retângulo, portanto, já sabemos o valor de sua base e de sua altura. Com isso, podemos calcular o valor da área, ou seja, chamando esta área de AGDE, temos.

[tex3]A_{GDE}=\frac{2\sqrt{11}\cdot \sqrt{11}}{2}[/tex3]
Calculando:

AGDE = 11 u.a.

Guardaremos este valor para uso futuro.

Sabemos que o ângulo interno de um triângulo equilátero é 60o, portanto, o ângulo HDE irá valer 60o. Colocando na figura, vemos que o ângulo GDH só poderá valer 30o para completar os 90o do ângulo GDE. Veja o desenho ao lado:

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Pronto, já temos todas informações necessárias para calcularmos a área desejada. Para facilitar a visualização, vamos trabalhar somente com o triângulo GDE da figura original, pois o restante já não será mais útil.

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Note, que, o lado DH foi chamado de “X”.

Relembrando a fórmula de trigonometria da área de um triângulo, poderemos calcular a área do triângulo hachurado assim que calcularmos o valor de “X”. Para isso, vamos observar as áreas dos triângulos GDH e DHE por esta fórmula.

[tex3]A_{GDH}=\frac{\sqrt{11}\cdot X\cdot \sin (30^{\circ})}{2} u.a.[/tex3]

[tex3]A_{DHE}=\frac{2\sqrt{11}\cdot X\cdot \sin (60^{\circ})}{2} u.a.[/tex3]

Observe, que, a soma destas duas áreas irá resultar, exatamente, a área do triângulo GDE (que calculamos anteriormente, AGDE = 11 u.a.). Portanto, falando matematicamente, podemos escrever:

[tex3]A_{GDE}=A_{GDH}+A_{DHE}[/tex3]

Substituindo os valores:

[tex3]11=\frac{\sqrt{11}\cdot X\cdot \sin (30^{\circ})}{2}+\frac{2\sqrt{11}\cdot X\cdot \sin (60^{\circ})}{2}[/tex3]

Lembrando:

[tex3]\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex3]

Podemos substituir:

[tex3]11=\frac{\sqrt{11}\cdot X\cdot \frac{1}{2}}{2}+\frac{2\sqrt{11}\cdot X\cdot \frac{\sqrt 3}{2}}{2}[/tex3]

O denominador 2 é comum às duas frações. Sendo assim, podemos escrever:

[tex3]11=\frac{\sqrt{11}\cdot X\cdot \frac{1}{2}+2\sqrt{11}\cdot X\cdot \frac{\sqrt 3}{2}}{2}[/tex3]

“Passando” o 2, que está dividindo o lado direito, multiplicando para o lado esquerdo e efetuando as multiplicações do numerador da fração maior, temos:

[tex3]2\cdot 11=\frac{\sqrt{11}\cdot X}{2}+\frac{2\sqrt{11}\cdot X\cdot \sqrt 3}{2}[/tex3]
Novamente, o 2 é denominador comum, podemos escrever:

[tex3]22=\frac{\sqrt{11}\cdot X+2\sqrt{11}\cdot X\cdot \sqrt 3}{2}[/tex3]
“Passando” o 2 que está dividindo para o outro lado multiplicando:

[tex3]22\cdot 2 =\sqrt {11}\cdot X+2\sqrt{11}\cdot X\cdot \sqrt{3}[/tex3]

[tex3]44=\sqrt {11}\cdot X+2\sqrt{11}\cdot X\cdot \sqrt{3}[/tex3]

Do lado direito da equação, podemos colocar o fator “[tex3]\sqrt{11}\cdot X[/tex3]” em evidência:

[tex3]44=\sqrt {11}\cdot X\cdot (1+2\sqrt 3)[/tex3]

Vamos isolar o valor “X”:

[tex3]X=\frac{44}{\sqrt{11}\cdot (1+2\sqrt 3)}[/tex3]
Agora, com o valor de “X” em mãos, calcularemos a área do triângulo hachurado pela fórmula da trigonometria (vista anteriormente):

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[tex3]A_{GDH}=\frac{\sqrt {11}\cdot \frac{44}{\sqrt {11}\cdot (1+2\sqrt 3)}\cdot \sin (30^{\circ})}{2}[/tex3]
O fator [tex3]\sqrt{11}[/tex3] pode ser anulado e sen(30o)=1/2:

[tex3]A_{GDH}=\frac{\frac{44}{(1+2\sqrt 3)}\cdot \frac{1}{2}}{2}[/tex3]
Efetuando a multiplicação:

[tex3]A_{GDH}=\frac{\frac{44}{2\cdot (1+2\sqrt 3)}}{2}[/tex3]
Efetuando a divisão das frações:

[tex3]A_{GDH}=\frac{44}{2\cdot (1+2\sqrt 3)}\cdot \frac{1}{2}[/tex3]
Calculando:

[tex3]A_{GDH}=\frac{44}{4\cdot (1+2\sqrt 3)}[/tex3]
Simplificando:

[tex3]A_{GDH}=\frac{11}{1+2\sqrt 3}[/tex3]
Racionalizando:

[tex3]A_{GDH}=\frac{11}{1+2\sqrt 3}\cdot \frac{1-2\sqrt 3}{1-2\sqrt 3}[/tex3]
Efetuando os cálculos, temos:

[tex3]A_{GDH}=(2\sqrt 3+-1)+\textrm{ u.a.}[/tex3]


Ufa, esta é a resposta final!! 🙂


Agora tente você:

(AFA – 1998) Na figura abaixo o perímetro do triângulo equilátero ABC é 72 cm. M é o ponto médio de AB e CE=16 cm. Então, a medida do segmento CN, em cm, é um sétimo de:

      (A) 48.
(B) 49.
(C) 50.
(D) 51.

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