Geometria Plana – Circunferência

Dado um pentágono [tex3]ABCDE[/tex3] inscrito numa circunferência de centro [tex3]O[/tex3], calcule o valor do ângulo [tex3]a+b[/tex3], sabendo que o ângulo [tex3]\hat{COB}[/tex3] é igual a [tex3]50^\circ[/tex3].

Questão de Geometria Plana - Pentágono Inscrito na Circunferência


Começamos lembrando de uma propriedade de circunferências: sempre que temos um ângulo central (no caso [tex3]\hat{BOC}[/tex3]), podemos transportar o ponto [tex3]O[/tex3] para sobre a circunferência (para cima do ponto [tex3]A[/tex3], por exemplo) mantendo [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] no mesmo lugar.

Assim, obteremos um ângulo [tex3]\hat{BAC}[/tex3] que vale metade de [tex3]\hat{BOC}[/tex3]. Ou seja:

Geometria Plana - Pentágono Inscrito na Circunferência

[tex3]\hat{BAC}=\frac{50^{\circ}}{2}=25^{\circ}[/tex3]

Agora devemos nos ater ao quadrilátero [tex3]CDEA[/tex3]:

Geometria Plana - Pentágono Inscrito na Circunferência

Esse quadrilátero está inscrito na circunferência. Portanto, respeita a propriedade de quadriláteros inscritos: ângulos opostos são suplementares (somam 180°).

Ou seja, podemos dizer:

[tex3]\hat{CAE}+\hat{CDE}=180^{\circ}[/tex3]

Sendo que [tex3]\hat{CDE}[/tex3] é o ângulo [tex3]b[/tex3]:

[tex3]\hat{CAE}=180^{\circ}-b[/tex3]

Agora que sabemos o valor dos ângulos [tex3]BAC[/tex3] e [tex3]CAE[/tex3], podemos calcular o valor de [tex3]a[/tex3], que é a soma destes dois ângulos:

[tex3]a=25^{\circ}+180^{\circ}-b[/tex3]

[tex3]\boxed{a=205-b}[/tex3]

A soma pedida é [tex3]a+b[/tex3], sabemos o valor de [tex3]a[/tex3], vamos calcular a soma pedida:

[tex3]a+b[/tex3]

[tex3]205-b+b[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{205}}[/tex3]