Geometria Analítica – Paralelismo e Perpendicularismo

(ITA – 88) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B(1,1) e C(3,-2), o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta de equação 3x – 4y + 2 = 0. Então, a reta que contém o cateto AC é dada por:

(A) 4x + 3y – 6 = 0
(B) 4x + 3y – 3 = 0
(C) 3x – 4y + 1 = 0
(D) 2x + 5y = 0
(E) 4x – 3y + 6 = 0


Veja a ilustração das informações disponibilizadas no enunciado:

anal05-01.gif (2114 bytes)

Como é dito que o lado AB é paralelo à reta vermelha e o ângulo reto está presente no vértice A, o desenho mais indicado para esta situação seria:

anal05-02.gif (2522 bytes)

Onde a figura amarela é o triângulo retângulo de que o exercício se refere.

Sabemos as coordenadas dos pontos B e C e como não sabemos as do ponto A, vamos dizer que A(x, y).

Inicialmente, vamos transformar a equação geral da reta vermelha no formato reduzido (apenas isolar “y”).

[tex3]3x-4y+2=0\\3x+2=4y\\y=\frac{3x+2}{4}[/tex3]

Assim podemos concluir que o coeficiente angular da reta vermelha vale 3/4. Portanto, por paralelismo, o coeficiente angular da reta AB (paralela à vermelha) também será 3/4. Lebrando da fórmula do coeficiente angular “a” de uma reta definida por dois pontos:

[tex3]a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/tex3]
Podemos utilizar esta fórmula para a reta AB.

[tex3]a=\frac{3}{4}\\\frac{1-y}{1-x}=\frac{3}{4}[/tex3]

Efetuando as operações:

[tex3]4\cdot(1-y)=3\cdot(1-x)[/tex3]

(1)    [tex3]4y-3x=1[/tex3]

Guardamos esta como sendo a equação (1).

Como o vértice “A” possui um ângulo reto, notamos claramente que a reta AC será perpendicular à reta AB. Lembrando que, no perpendicularismo, os coeficientes angulares são inversos (1/a) e opostos (troca de sinal), podemos concluir que o coeficiente angular “m” da reta AC é:

[tex3]m=-\frac{4}{3}[/tex3]

Utilizando, novamente, a fórmula do coeficiente angular para a reta AC, teremos: A(x, y) C(3, -2)

[tex3]m=-\frac{4}{3}\\\frac{-2-y}{3-x}=-\frac{4}{3}[/tex3]
Efetuando as operações:

3.( -2 – y ) = -4.( 3 – x )

– 6 – 3y = – 12 + 4x

– 6 + 12 = 4x + 3y

(2)  4x + 3y = 6

Com as duas equações em mãos, podemos formar um sistema e calcular o valor de x e de y.

(1)   4y – 3x = 1
(2)   4x + 3y = 6

Vamos isolar o valor de y na equação (1):

[tex3]y=\frac{3x+1}{4}[/tex3]

Agora podemos substituir este valor na equação (2):

[tex3]4x+3\cdot\left(\frac{3x+1}{4}\right)=6[/tex3]

Tirando MMC:

[tex3]\frac{16x+3\cdot(3x+1)}{4}=\frac{24}{4}[/tex3]

Podemos cortar os denominadores e efetuar o resto das operações:

[tex3]16x+9x+3=24\\25x=21\\x=\frac{21}{25}[/tex3]

Agora, para descobrir o valor de y iremos apenas substituir o valor de x na equação (2):

[tex3]4x+3y=6\\4\cdot\frac{21}{25}+3y=6\\\frac{84}{25}+3y=6\\3y=-\frac{84}{25}+6\\3y=\frac{-84+150}{25}\\3y=\frac{66}{25}\\y=\frac{22}{25}[/tex3]

Com isso sabemos as coordenadas do ponto “A”.

O exercício pede a equação da reta AC:

 

[tex3]A\left(\frac{21}{25},\frac{22}{25}\right)[/tex3]

[tex3]C(3,-2)[/tex3]

Já temos o valor do coeficiente angular da reta AC (chamamos de “m”). Como sabemos, qualquer reta terá sua equação reduzida no formato:

y = mx + b

Onde “m” é o coeficiente angular, neste caso vale m=-4/3. Portanto:

[tex3]y=-\frac{4}{3}\cdot x+b[/tex3]

Para descobrir o “b”, vamos substituir o ponto C na equação (pois, com certeza, é um ponto da reta AC):

[tex3]-2=-\frac{4}{3}\cdot3+b[/tex3]

[tex3]b=2[/tex3]

Portanto, a equação da reta no formato reduzido é:

[tex3]y=-\frac{4}{3}\cdot x+2[/tex3]
Note que, nas respostas todas equações estão no formato geral, portanto, vamos transformar. Tirando MMC:

[tex3]\frac{3y}{3}=\frac{-4x+6}{3}[/tex3]
[tex3]4x+3y-6=0[/tex3]

 Resposta certa, letra “A”.